Grenzwertsatz von de Moivre

Question

Aufgabe:

Ein Ausflugslokal ist bekannt für sehr gute Bratwürste. Mehrmals täglich liefert die angeschlossene Metzgerei 600 Stück. Leider kommt es auch bei sorgfältigstem Transport vor, dass eine Bratwurst bereits aufgeplatzt ist, die Wahrscheinlichkeit hierfür ist 0,5 %. Der Wirt lässt die gesamte Lieferung zurückgehen, wenn 6 oder mehr Würste aufgeplatzt sind. Berechnen Sie unter Verwendung des Grenzwertsatzes von deMoivre/Laplace die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies geschieht.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir mehrere Videos zu diesem thema angeschaut. Mir fällt es aber schwer hier auf die Lösung zu kommen. Kann mir da bitte jemand helfen?

Comments

mehrere Videos zu diesem thema angeschaut

Videos über Bratwürste, tönt ja lecker. Wo gibt es das?

Wenn Du Dich aber über den Grenzwertsatz schlau machen möchtest, empfehle ich dazu eher ein Buch. Und wenn Bücher zuwenig Strom verbrauchen, dann findet man es auch hier. Dort steht auch die Antwort zu dieser Aufgabe.

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ja Bratwürste sind echt lecker ;) .Nur Aufgrund meiner krnakheit darf ich momentan kein Fleisch essen:(

Ich habe das mal mit der Annäherung der Binomial und Normalverteilung versucht. Komme aber auf eine Wahrscheinlichkeit von 23,97 Prozent. Das scheint mir irgendwie falsch zu sein

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Es wäre ganz toll, wenn Du hier Deinen Rechenweg zeigen würdest, und auch verrätst warum Du meinst, es könne vielleicht "irgendwie falsch" sein. Dann kann jemand Dir zielgerichtet antworten.

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n= 600

p= 0,5%

Mittelwert= μ = 600*0,5% =300

Standardabweichung= σ = \( \sqrt{n*p*(1-p)} \)= \( \sqrt{600*0.5*0,5} \)= 12,24

Binomialverteilung:

p (x ≥ 6)

P (-∞ ≥ x ≥ 6)

x1= - ∞    x2= 6

Normalverteilung:

x1= - ∞ -0,5 =  - ∞      x2 =  6+0,5 = 6,5

z1 = - ∞         z2= \( \frac{6,5-300}{12,24} \) = -23,97

Φ1 = 0           Φ2= -23,97

beide Wahrscheinlickeiten voneinander abgezogen = 23,97

p (x ≥ 6) = 23,97 %

Mir scheint das falsch zu sein weil die wahrscheinlichkeit von 23,97 % dass 6 Würste aufgeplatzt wären in meinen Augen viel zu hoch ist.

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Prozent bedeutet Hundertstel. Eine Wahrscheinlichkeit von 5 % ist nicht dasselbe wie 0,5 sondern wie 0,05.

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\( \mu = 600 \cdot 0.5\% = 3 \) und nicht 300

Answer 1

Im oben verlinkten Lexikonartikel steht: Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen, wenn n und p die folgende Bedingung erfüllen: n p (1 - p) > 9

In dieser Aufgabe gilt: n = 600, p = 0,005, n p (1 - p) = 2,985

Comments

Da zu befürchten ist, dass der Aufgabenautor eine andere Antwort hören möchte:

exakte Berechnung:

\(\Large \sum \limits_{k=6}^{600}\normalsize \begin{pmatrix} 600\\k \end{pmatrix} 0,005^{k}\cdot (1-0,005)^{600-k} \approx 8,34 \, \% \)

approximativ, mit Stetigkeitskorrektur:

\(\Large \frac{1}{\sqrt{2 \pi \cdot 600 \cdot 0,005\cdot(1-0,005)}} \normalsize \displaystyle\int \limits_{5,5}^{\infty} e^{\large -\frac{(x-600 \cdot 0,005)^{2}}{2 \cdot 600 \cdot 0,005\cdot(1-0,005)}\normalsize} \, dx \, \approx 7,4 \, \% \)

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wie viel Prozent beträgt nun die Wahrscheinlichkeit ? 8,34% oder 7,4% ?