Untersuchen Sie, ob die folgende Teilmenge von R^{2} offen ist: M = {(x,y) ∈ R2 : x2 - y2 < 0 }

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgende Teilmenge von \( R^{2} \)  offen ist:

M = {(x,y) ∈ R² : x² - y² < 0 }

Problem/Ansatz:

Vermutung: M ist offen.

Nach Definition ist eine Menge M offen, wenn gilt:

∀m ∈ M ∃ε : U_ε(m) ⊆ M

Wo bei U_ε(m)  eine offene Kugel mit Radius ε um m ist.

Sei also m ∈ M beliebig.

Nun sei x = (x₁, x₂) ∈  U_ε(m)  beliebig. Es gilt:

|| m - x || < ε

Es bleibt zu zeigen: x ∈ M ⇔ x₁² - x₂² < 0

Die Frage ist bloß wie? Ich bin mir relativ sicher, dass M offen ist, da ich für das Komplement von M ein Gegenbeispiel

gefunden habe, das Komplement also nicht offen ist. Aber reicht das schon als Beweis, ich glaube nicht...

Man muss für ε einen gescheiten Wert finden, um damit die Ungleichung zu erfüllen. Ich habe aber nicht Mal den Hauch einer Ahnung, wie man überhaupt ansetzen kann. Wenn mir jemand ein allgemeines Vorgehen skizzieren könnte, wäre ich echt dankbar!

Vielen Dank schon mal!

Comments

habt dir bereits die abgeschlossenheit über die Folgendefinition gehabt? wenn ja finde ich, ist immer am einfachsten zu zeigen, dass das Komplement abgeschlossen ist :)

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Meinst du, dass eine Menge M abgeschlossen ist, wenn der Grenzwert jeder Teilfolge von M in M liegt?

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Grenzwert jeder Folge in M in M liegt... Ja die meine ich

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Hatten wir. Habe ich noch nicht probiert, aber die Frage die sich stellt ist: wie Beweise ich das ganz allgemein für jede konvergente Teilfolge

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Answer 1

Also wir zeigen, dass das komplement abgeschlossen ist, dazu nehmen wir eine allgemeine Konvergent Folge (xn, yn) - > (x, y) aus M. Der Grenzwert (x, y) ist ja gerade ein Element der Menge M falls die entsprechende Ungleichung gilt. Was wir machen ist wir setzten (x, y) in die Ungleichung ein und zeigen, dass x^2 + y^2 =< 1 ist. Setzten wir x^2+y^2 an dann können wir auch schreiben (lim xn)^2+ (lim yn) ^2 auf Grund der stetigkeit und rechenregel von Grenzwerten, können wir den Limes herausziehen zu lim (xn^2 + yn^2) aber naja jetzt wissen wir, dass xn und yn in M liegen also für die die Ungleichung gilt, somit können wir das nach oben abschätzen durch =< lim 1 =1 und damit ist die Ungleichung erfüllt

Comments

Warum zeigen wir, dass x2 + y2 =< 1?

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Aber ich glaube ich verstehe die Idee dahinter.

Aber eine Frage dazu:

Wenn man den Limes rauszieht, warum kann man dann sicher sagen, dass der "neue" Limes in M liegt?

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Weil (xn, yn) in M liegt, wenn man also dort den Limes bildet, kann es maximal sein, dass das echt größer zu einem größer gleich wird aber hier liegt ja eh eine größer gleich Ungleichung vor, deswegen funktioniert das

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Die Abschätzung vom Limes nach oben ist mir noch nicht klar. Woher kommt das

x^2 + y^2 =< 1?

Answer 2

Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn das Urbild

jeder offenen Menge offen ist. Nun ist \(f(x,y)=x^2-y^2\) in ganz \(\mathbb{R}^2\)

stetig und \(M=f^{-1}((-\infty, 0))\). Damit ist \(M\) als Urbildmenge

eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion offen.

Answer 3

das Komplement also nicht offen ist. Aber reicht das schon als Beweis,

Nein. Das Komplement muss abgeschlossen sein.

Man muss für ε einen gescheiten Wert finden,

Ja, genau.

x² - y² < 0

Das lässt sich umschreiben zu

        |y| > |x|

Die Menge wird durch die beiden Geraden

        y = x

und

        y = -x

begrenzt.

Als ε bietet sich deshalb das Minimum der Abstände von m zu den beiden Geraden an.