Zeigen Sie die Sherman-Morrison-Woodbury-Formel

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für \( B \in \mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R}) \) und \( u, v \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( 1+v^{\top} B^{-1} u \neq 0 \) die Sherman-MorrisonWoodbury-Formel

\( \left(B+u v^{\top}\right)^{-1}=B^{-1}-\frac{B^{-1} u v^{\top} B^{-1}}{1+v^{\top} B^{-1} u} . \)

Problem/Ansatz:

Comments

Wenn behauptet wird, dass irgendeine Matrix X die Inverse einer Matrix A ist, brauchst Du doch nur nachrechnen, dass AX oder XA die Einheitsmatrix ist.

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Könnten Sie einmal vormachen wie es geht?

Answer 1

Du musst einfach beide Seiten mit \(\left(B+u v^{\top}\right)\) multiplizieren. Weil du dann ja das inverse mit dem nicht-inversen multiplizierst, sollten beiden Seiten 1 ergeben.