Rang und Defekt bestimmen

Question

Aufgabe:

Sei \( M \) eine Menge mit 12 Elementen. Welchen Rang kann eine lineare Abbildung \( \varphi: \operatorname{Abb}(M, K) \rightarrow K^{11 \times 3} \) höchstens haben?


Was ist der Defekt einer surjektiven linearen Abbildung \( K^{9 \times 4} \rightarrow K^{5 \times 6} \).


Was ist der kleinste Defekt, den eine lineare Abbildung \( \varphi: K^{7 \times 3} \rightarrow K^{10} \) haben kann?

Problem/Ansatz:

ich habe die Begriffe Rang und Defekt nicht verstanden, eine Erklärung anhand dieser Aufgaben wäre sehr hilfreich.

mfg

ulong

Answer 1

Rang ist die Dimension des Bildes der Abbildung und

Defekt die vom Kern.

Es gilt immer bei lin. Abb'en f von V nach W

Rang(f)+Defekt(f)=dim(V)

Was ist der Defekt einer surjektiven linearen Abbildung \( K^{9 \times 4} \rightarrow K^{5 \times 6} \).

Hier also Rang(f) = 30 , weil die Abb. surjektiv ist, also Bild(f)=W.

Wegen dim(V)=36 gilt also

30+Defekt(f)=36 ==>  Defekt(f)=6

Comments

Könnte ich dann bei der dritten annehmen, dass die Abbildung injektiv ist, und damit ist der Rang = 21 => kleinster Defekt = 11, da 21 - 10 = 11 ?

Beim ersten müsste der höchste Rang doch 13 sein, weil ich zumindest gehört habe, dass dim(Abb(M, K)) = |M| ist.