Aloha :)
Wir wissen von der Matrix$$A=\left(\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$dass die Summe über die jeweiligen Spalten konstant gleich \(c\) ist:$$\sum\limits_{i=1}^na_{ik}=c\quad;\quad k=1,\ldots,n$$
Da die Determinante einer Matrix mit der ihrer Transponierten identisch ist, gilt:$$\operatorname{det}\left(A-\lambda\mathbf 1_n\right)=\operatorname{det}\left((A-\lambda\mathbf 1_n)^T\right)=\operatorname{det}\left(A^T-\lambda\mathbf 1_n^T\right)=\operatorname{det}\left(A^T-\lambda\mathbf 1_n\right)$$Das heißt, die Matrix \(A\) und die Matrix \(A^T\) haben dasselbe charakteristische Polynom. Da dessen Nullstellen die Eigenwerte sind, haben \(A\) und \(A^T\) dieselben Eigenwerte.
Daher können wir auch zeigen, dass \(c\) ein Eigenwert von \(A^T\) ist. Dazu multiplizieren wir die Matrix \(A^T\) mit einem Spaltenvektor aus \(n\) Einsen:$$\left(\begin{array}{c}a_{11} & a_{21} & a_{31} & \cdots & a_{n1}\\a_{12} & a_{22} & a_{32} & \cdots & a_{n2}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & \cdots & a_{n3}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{1n} & a_{2n} & a_{3n} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right)\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}+a_{21}+a_{31}+\cdots+a_{n1}\\a_{12}+a_{22}+a_{32}+\cdots+a_{n2}\\a_{13}+a_{23}+a_{33}+\cdots+a_{n3}\\\vdots\\a_{1n}+a_{2n}+a_{3n}+\cdots+a_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c\\c\\c\\\vdots\\c\end{pmatrix}=c\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\vdots\\1\end{pmatrix}$$
Also ist \(c\) ein Eigenwert von \(A^T\) und damit auch von \(A\).
