Sei (a_n) reelle Folge und sei a Element aus reellen Zahlen. Widerlegen Sie die Äquivalenz mit |a_n − a| < n ε

Question

Aufgabe:

Sei (a_n) eine reelle Folge und sei a Element aus den reellen Zahlen. Beweisen oder widerlegen Sie:

lim_n→∞ a_n = a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ N ∀n ≥ n₀ : |a_n − a| < n ε.

Problem/Ansatz:

Wie widerlegt man sowas?

Answer 1

Hallo

der lim sagt doch |an − a| <  ε. da  ε>0 ist n*ε>ε und die Ungleichung deshalb trivial  das in einer Richtung. => richtig

aber für jedes ε ist n*ε keine Nullfolge. also <= falsch  (das musst du noch genauer hinschreiben)

Gruß lul

Comments

aber für jedes ε ist n*ε keine Nullfolge

Denn nimmt man zum Beispiel die Nullfolge 1/n hat man |an − a| <  n ε ⇔ 1/n < n ε ⇔

1 < ε² n. Dies stimmt aber nur für ε > 1. Liege ich richtig? Falls nicht kannst du das bitte näher erläutern?

Answer 2

Hallo,

wähle \(a_n:=1\) und \(a:=0\). Dann gilt sicher nicht \(a_n \to a\). Aber

Wenn \(\epsilon>0\) gegeben ist, wähle \(n_0\) mit \(n_0>1/\epsilon\). Dann gilt für all \( n \geq n_0\):

$$|a_n-a|=1< n_0 \epsilon \leq n \epsilon$$

Gruß Mathhilf