Ableitung gebrochenrationaler Funktion

Question

Aufgabe:

Berechnen die Ableitung der Funktion f mit

\(\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}+9 x+20} \)

an der Stelle x0 = 2

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hierfür dir richtige Lösung zeigen ? Und sehr gerne auch den Weg bis zur Lösung. Was meinen die mit x0 = 2??

DANKEE :**

Comments

Was meinen die mit x₀ = 2??

Das ist die Stelle an der die Ableitung gesucht ist.

Answer 1

\( f(x)=\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}+9 x+20} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{(2 x-5) \cdot\left(x^{2}+9 x+20\right)-\left(x^{2}-5 x+6\right) \cdot(2 x+9)}{x^{2}+9 x+20} \)

Nun noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

An der \(x₀=2\) bedeutet , dass du 2 für das x in der Ableitung einsetzen musst. Das ist dann die Steigung von f(x) an der Stelle x=2.

Comments

Müsste im Nenner nicht ein Quadrat an dem Term stehen?

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2 für das x in der Ableitung einsetzen musst

Es ist gar nicht verlangt, die allgemeine Ableitung zu bestimmen.

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Müsste im Nenner nicht ein Quadrat an dem Term stehen?

Danke, das stimmt. Ich habe es vergessen.

Es ist gar nicht verlangt, die allgemeine Ableitung zu bestimmen.

Laut Aufgabentext ist das aber so.

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Laut Aufgabentext ist das aber so.

Eben gerade nicht !

Answer 2

$$\text{ Quotientenregel } (\frac{f}{g})' = \frac{f'*g - f*g'}{g^2} \\ f(x) = x^2-5x+6 \\ g(x) = x^2+9x+20 \\ f'(x) = 2x-5 \\ g'(x) = 2x+9 \\ (\frac{f}{g})'(x) = \frac{(2x-5)*(x^2+9x+20) - (2x+9)*(x^2-5x+6)}{(x^2+9x+20)^2 } \\ \text { alles zusammenfassen: } \\ (\frac{f}{g})'(x) = \frac{14\left(x^2+2x-11\right)}{\left(x^2+9x+20\right)^2}\\(\frac{f}{g})'(2) = -0.02381\\$$