Question

Was ist ein affiner Unterraum des Vektorraums über einem Körper?

kann mir jemand in einfachen Worten und mit kleinem Beispiel eines Vektorraumes zeigen was

1. affin bedeutet

2. ein affiner Unterraum ist

3. Was hat ein affiner Unterraum mit der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungsystems zu tun?

würde mich um Hilfestellung freuen

VG coffee.cup

Answer 1

Was hat ein affiner Unterraum mit der Lösungsmenge eines Linearen Gleichungsystems zu tun?

Wenn man ein homogenes lineares Gleichungssystem (im Reellen) hat,

dann ist die Lösungsmenge ein Untervektorraum des ℝⁿ wobei

n die Anzahl der Variablen ist.

Ist das Gleichungssystem nicht homogen und mehrdeutig lösbar

dann kann man die Lösungsmenge immer so aufschreiben, dass man

ein Element von ℝⁿ hat und wenn man dazu die Lösungen des passenden

homogenen Systems addiert, erhält ma alle.

So ein Konstrukt :  Ein spezielles Element + alle Elemente eines

Vektorrauemes nennt man dann einen affinen Raum.

Comments

Also ist zum Beispiel wenn die Lösung des Gleichungssystems folgendermaßen lautet:

\( x=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4 \\ 5+\lambda_{1} \\ \lambda_{2}\end{array}\right) \)

Der beliebige Teil des Lösungsraums sozusagen das spezielle Element und das könnte man so darstellen das dieser Lambdavektor eine Verschiebung ist von dem gesamten Lösungsvektor.

Und durch diese Verschiebbarkeit wäre der ganze resultierende Raum dann ein affiner Unterraum?

\( x=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 0\end{array}\right) \)

und im umgekehrten Fall wenn es kein Lambdavektor gäbe, also eine eindeutige Lösung wäre es kein affiner Raum?

Was ist wenn die Verschiebung ein Nullvektor wäre? oder darf in einem affinen Raum kein Nullvektor existieren?

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\(x=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda_{1} \\ \lambda_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 0\end{array}\right) \)

\(=\lambda_{1}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\0 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}4 \\ 5 \\ 0\end{array}\right) \)

In der Form siehst du dann bei geometrischer Interpretation,

dass das alles Punkte einer Ebene sind, die durch (4/5/0) geht und von den Richtungsvektoren (0;1;0) und (0;0;1)

aufgespannt wird , also parallel zur x2-x3-Ebene.

Answer 2

Ein affiner Unterraum eines Vektorraums \(V\) ist ein

Element von \(V/U\) mit einem Vektorunterraum \(U\) von \(V\),

also eine Menge \(v+U\) mit einem linearen Unterraum \(U\)

und einem Vektor \(v\in V\). Das ist die Lösungsmenge

eines linearen Gleichungssystems, wobei \(U\) die Lösungsmenge

des zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystems ist

und \(v\) eine ("partikuläre") Lösung des inhomogenen Systems,

noch anders ausgedrückt: es handelt sich um einen

verschobenen Vektorteilraum.