Konvergenzradius cosh(x) mit Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

cosh sei Grenzwert der Potenzreihe:

cosh(x) = sum(n=0 -> inf) (x²ⁿ) / (2n)!

Bestimme Konvergenzradius. Für welche x konvergiert die Potenzreihe?

Problem/Ansatz:

Ich nehme an, dass man hier mit Quotientenkriterium arbeiten soll, welches besagt radius r = lim | a_n / a_n+1 |.

Damit habe ich auch schon runtergerechnet bis auf:

lim(n->inf) | ((2n+1)!) / (x*(2n)!) |    (sofern das denn stimmt)

Jetzt fehlt mir aber der weitere Weg, wie ich mit dem Quotientenkrit. hier den Grenzwert bestimmen kann. Finden dazu kann ich leider nichts.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Der Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe$$\cosh(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\cdot(x^2)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{1}{(2n)!}$$ergibt sich nach folgender Rechnung:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{(2n)!}}{\frac{1}{(2(n+1))!}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n+2)!}{(2n)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{(2n)!}$$$$\phantom r=\lim\limits_{n\to\infty}(2n+1)(2n+2)=\infty$$Die Potenzreihe konvergiert also für alle \(x^2\) und damit auch für alle \(x\).

Comments

Oh Wow! Dann ist es ja doch nicht so viel wie gedacht :D

Könntest du mir aber vielleicht ganz kurz den Schritt vom 3. lim auf den 4. lim erklären? Also du ziehst (2n)! aus der Klammer nach vorne um kürzen zu können. Aber woher genau kommen dann (2n+1) und (2n+2)?

Glaube ich vergesse da gerade nur irgendeine Regel mit Fakultäten :0

PS: Danke für das liebe willkommen :)

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$$(2n+2)!=\underbrace{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)\cdot2n}_{=(2n)!}\cdot(2n+1)\cdot(2n+2)\implies$$$$(2n+2)!=(2n)!\cdot(2n+1)\cdot(2n+2)$$