Das Polynom T^3-1 als Vektor schreiben

Question

Aufgabe:Das Polynom T^3-1  als Vektor schreiben, allerdings nicht einfach mit (1  0  0  -1) untereinander, sondern mit der mathematisch korrekten Erklärung, warum man das so machen kann

Problem/Ansatz: Mir fällt eigentlich nur die Linearkombination ein, aber bis jetzt ist es mir noch nicht damit gelungen.

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Das Polynom T³-1  als Vektor schreiben

Das Ding, von dem du sprichst, ist eine abstrakte Idee, es ist ein Element eines Vektorraumes .
Es kommt auf eure Definition dieses Vektorraumes an, ob das Polynom an sich existiert oder erst als Polynom in einer bestimmten Variablen (d.h. gibt es den Vektorraum aller Polynome an sich und sind die Vektorräume der Polynome in der Variablen X und der Vektorraum der Polynome in der Variablen T gleich oder nur isomorph ?).

Unabhängig davon hat der Vektorraum eine Basis und bezüglich dieser Basis hat das Polynom (= der Vektor) eine Koordinatendarstellung.

Ist der Vektorraum z.B. der der Polynome vom Grad höchstens 5 über dem Körper K = ℚ und ist B = (T^2 , T^3-1 , T-4 , T+T^5 , -2 , 1+T+T^2+T^3+T^4+T^5) die gewählte Basis, dann hat dein Polynom die (in der Regel spaltenweise geschriebene) Koordinatendarstellung (0  1  0  0  0   0). Dies ist aber nur eine Darstellung bezüglich einer bestimmten Basis und nicht etwa der Vektor selbst.

Answer 1

T^3 - 1 = 1·T^3 + 0·T^2 + 0·T^1 - 1·T^0

Die Koeffizienten schreibt man jetzt als Vektor.