zeige, dass wenn für alle n∈ℕ: |xn| ≤ C gilt, dann folgt, dass |limn→∝ xn| ≤ C.

Question

Aufgabe:

Es sei (x_n)_n∈ℕ ∈ℂ^ℕ eine konvergente Folge und C ∈ ℝ mit C ≥ 0. Nun ist zu zeigen, dass wenn für alle n∈ℕ: |x_n| ≤ C gilt, dann folgt, dass |lim_n→∝ x_n| ≤ C.

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit einem Widerspruchsbeweis versucht, jedoch ist mir nach vielem rumprobieren noch kein Widerspruch eingefallen. Es kommt mir natürlich logisch vor, weil wenn alle Folgenglieder kleiner gleich C sind kann der Grenzwert ja nicht darüber liegen, aber komme nicht auf den formalen Beweis. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.

Comments

setze lim xn=a und nimm an a>C also a=C+ε, dann sollte dir ein Widerspruch gelingen

lul

Answer 1

wenn für alle n∈ℕ: |x_n| ≤ C

Sei \(z\in \mathbb{C}\) mit \(|z| > C\). Dann existiert eine Umgebung von \(z\), in der keine Folgenglieder von \((x_n)_{n\in \mathbb{N}} \) liegen.