Zeigen Sie die Existenz von eindeutig bestimmten Bilinearformen bs, ba ∈ Bil(V ) mit bs symmetrisch, ba alternierend …

Question

Aufgabe:

Es sei V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum und b ∈ Bil(V ) eine
Bilinearform.

Zeigen Sie die Existenz von eindeutig bestimmten Bilinearformen bs, ba ∈ Bil(V ) mit bs symmetrisch, ba alternierend (= schiefsymmetrisch) und b = bs + ba.

Problem/Ansatz:

komme nicht weiter  ps die Buchstaben neben b müssen eigentlich immer kleine Buchstaben sein die unten daneben stehen danke

Answer 1

Wenn man den "Mittelwert" von b(x,y) und b(y,x) nimmt, dann bekommt

man eine symmetrische Bilinearform:

\(b_s(x,y):=\frac{1}{2}(b(x,y)+b(y,x))\).

Es ist dann

\(b_a(x,y)=b(x,y)-b_s(x,y)=\frac{1}{2}(b(y,x)-b(x,y))\)

eine alternierende Bilinearform.