2 Ableitung verkettete Funktion gleich 0

Question

Aufgabe:

6. Bestimmen Sie Extrema und Wendepunkte von
f(x)=(x-2)^{4}

Problem/Ansatz:

Für die Ableitungen habe ich raus:

f‘(x)=4*(x-2)^{3}

f‘‘(x)=12*(x-2)^{2}

Wenn ich f‘(x)=0 setze, komme ich auf x=2. wenn ich x=2 in f‘‘(x) einsetze kommt wieder 0 heraus. Wie genau bestimme ich jetzt ob es ein Minimum oder Maximum ist?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=(x-2)^4$$$$f'(x)=4(x-2)^3$$$$f''(x)=12(x-2)^2$$$$f'''(x)=24(x-2)$$$$f''''(x)=24$$

Kandidaten für Extremwerte findest du dort, wo die erste Ableitung zu Null wird. Das ist bei \(x_0=2\) der Fall.

Methode 1:

Zur Prüfung dieses Kandidaten \(x_0=2\) setzt du ihn so lange in die nachfolgenden Ableitungen ein, bis die erste davon \(\ne0\) ist. Hier ist die 4-te Ableitung \(f''''(2)=24\ne0\). Ist der Grad dieser Ableitung gerade (was hier der Fall ist), liegt ein Extremum vor; wenn der Grad der Ableitung ungerade ist, liegt kein Extremum vor.

Wegen \(24>0\) liegt bei \(x_0=2\) ein Minimum vor.

In den meisten Fällen ist schon die 2-te Ableitung von Null verschieden. Da diese eine gerade Ableitung ist, reicht sie dann aus, um zu entscheiden, ob ein Extremum vorliegt.

Methode 2:

Wenn das Bilden der höheren Ableitungen zu fummelig ist, kannst du ausnutzen, dass das Vorzeichen der zweiten Ableitung über das Krümmungsverhalten der Funktion Auskunft gibt. Für \(f''(x)>0\) ist die Funktion bei \(x\) links-gekrümmt, für \(f''(x)<0\) ist die Funktion bei \(x\) rechts-gekrümmt.

Hast du nun einen Kandidaten \(x_0\) für ein Extremum, kannst du das Krümmungsverhalten der Funktion kurz vor und kurz hinter dieser Stelle \(x_0\) untersuchen. Hier ist $$f''(x)=12(x-2)^2\ge0$$sodass die Funktion für alle \(x\ne2\) linksgekrümmt ist, also muss bei \(x_0=2\) ein Minimum vorliegen.

Methode 3:

Wenn selbst das Bilden der zweiten Ableitung zu fummelig ist, kannst du ausnutzen, dass das Vorzeichen der ersten Ableitung über das Steigungsverhalten der Funktion Auskunft gibt. Für \(f'(x)>0\) steigt die Funktion, für \(f'(x)<0\) fällt die Funktion.

Bei einem Kandidaten \(x_0\) für ein Extremum ist \(f'(x_0)=0\), die Funktion fällt nicht und steigt nicht. Jetzt untersuchst du das Vorzeichen der ersten Ableitung etwas links von \(x_0\) und etwas rechts von \(x_0\). Sind beide Vorzeichen gleich, liegt kein Extremum vor, weil die Funktion vor und nach dem kritischen Punkt wie zuvor ansteigt oder abfällt. Ändert sich das Vorzeichen der ersten Ableitung, liegt ein Extremum vor.

Hier ist \(f'(1,99)<0\) und \(f'(2,01)>0\). Vor dem kritischen Punkt \(x_0=2\) fällt die Funktion also ab, nach dem Punkt steigt sie an. Also liegt bei \(x_0=2\) ein Minimum vor.

Answer 2

Es ist ein Minimum, weil man \(f\) aus der Funktion \(g(x) = x^4\) durch eine Verschiebung um zwei nach rechts bekommt und \(g\) bekanntermaßen bei 0 ein Minimum hat.

Alternativ dazu kann man auch das Vorzeichenwechelkriterium anwenden: \(f\) hat bei \(x_0\) ein Minimum, wenn in einer Umgebung von \(x_0\) gilt, dass

        \(f'(x) < 0\) für \(x < x_0\) und \(f'(x) > 0\) für \(x > x_0\).