Lass uns ein Beispiel anschauen:$$B=\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& -5&6\\0&0&3\end{array}\right)$$Als erstes bringen wir die Diagonalelement auf 1, indem wir jede Zeile mit \(b_{ii}^{-1}\)
multiplzieren: \(M(1/2,1)\cdot M(-1/5,2)\cdot M(1/3,3)\cdot B=:C\). Die Einträge der Matrix
mögen nun \(c_{ij}\) heißen.
Nun subtrahieren wir Vielfache der letzten Zeile von den anderen Zeilen, so dass außer
der 1 in der letzten Zeile in der letzten Spalte nur Nullen stehen:
\(A(-c_{1,3},1,3)\cdot A(-c_{2,3},2,3)\cdot C=:D\). Dann verfahren wie ebenso
mit der 2-ten Spalte: \(A(-c_{1,2}, 1, 2)\cdot D\). Nun haben wir die Einheitsmatrix
erreicht. Durchläuft man diesen Weg rückwärts, bekommt man
\(M(3,3)\cdot M(-5,2)\cdot M(2,1) \cdot A(+c_{1,2}, 1, 2)\cdot A(+c_{2,3},2,3)\cdot A(+c_{1,3},1,3)=B\).
Die Mühe, das Verfahren allgemein zu beschreiben, überlasse ich gerne dir ;-)
\(M(1/3,3)\cdot B=\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& -5&6\\0&0&1\end{array}\right)\).
Von links mit \(M(-1/5,2)\) multipliziert, liefert \(\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& 1&-6/5\\0&0&1\end{array}\right)\).
Dieses mit \(M(1/2,1)\) links multipliziert liefert \(\left(\begin{array}{rrr}1&3/2&-2\\0& 1&-6/5\\0&0&1\end{array}\right)\).
Jetzt kann man Stück für Stück Vielfache der letzten Zeile von der 2-ten und 1-ten Zeile
abziehen, was man mit den \(A(\lambda,i,j)\) macht ...
