Darstellung der oberen Dreiecksmatrix als Produkt von Elementarmatrizen des Typs M(λ, i) und A(λ, i, j) mit i < j

Question

Aufgabe:

Sei B ∈ M_n×n(K) eine obere Dreiecksmatrix mit von 0 verschiedenen Diagonaleinträgen.
Zeigen Sie, dass sich B schreiben lässt als Produkt von Elementarmatrizen des Typs
M(λ, i) und A(λ, i, j) mit i < j.

Problem/Ansatz:

Wie geht man das an?

Comments

Wie geht man das an?

Das können wir dir nicht sagen; denn du
hast uns nicht verraten, wie die Matrizen
M(λ, i) und A(λ, i, j) mit i < j
definiert sind.

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In der Aufgabe steht leider nichts näheres dazu, außer, dass M(λ, i) und A(λ, i, j) Elementarmatrizen sind.

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Das mag ja nicht in der Aufgabe stehen, sehr wohl aber
doch in deinen Lehrunterlagen ?

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Stimmt sorry, hab ich übersehen.
M(λ, i) ist die Einheitsmatrix, aber an der Stelle a_i,i steht ein λ

A(λ, i, j) ist die Einheitsmatrix, aber an der Stelle a_i,j steht ein λ

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Und M(λ, i) und A(λ, i, j) sind m x m Matrizen, bzw. in dem Fall n x n Matrizen

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vielleicht wie sich

>B schreiben lässt als Produkt von Elementarmatrizen<

Answer 1

Lass uns ein Beispiel anschauen:$$B=\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& -5&6\\0&0&3\end{array}\right)$$Als erstes bringen wir die Diagonalelement auf 1, indem wir jede Zeile mit $b_{ii}^{-1}$

multiplzieren: $M(1/2,1)\cdot M(-1/5,2)\cdot M(1/3,3)\cdot B=:C$. Die Einträge der Matrix

mögen nun $c_{ij}$ heißen.

Nun subtrahieren wir Vielfache der letzten Zeile von den anderen Zeilen, so dass außer

der 1 in der letzten Zeile in der letzten Spalte nur Nullen stehen:

$A(-c_{1,3},1,3)\cdot A(-c_{2,3},2,3)\cdot C=:D$. Dann verfahren wie ebenso

mit der 2-ten Spalte: $A(-c_{1,2}, 1, 2)\cdot D$. Nun haben wir die Einheitsmatrix

erreicht. Durchläuft man diesen Weg rückwärts, bekommt man

$M(3,3)\cdot M(-5,2)\cdot M(2,1) \cdot A(+c_{1,2}, 1, 2)\cdot A(+c_{2,3},2,3)\cdot A(+c_{1,3},1,3)=B$.

Die Mühe, das Verfahren allgemein zu beschreiben, überlasse ich gerne dir ;-)

$M(1/3,3)\cdot B=\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& -5&6\\0&0&1\end{array}\right)$.

Von links mit $M(-1/5,2)$ multipliziert, liefert $\left(\begin{array}{rrr}2&3&-4\\0& 1&-6/5\\0&0&1\end{array}\right)$.

Dieses mit $M(1/2,1)$ links multipliziert liefert $\left(\begin{array}{rrr}1&3/2&-2\\0& 1&-6/5\\0&0&1\end{array}\right)$.

Jetzt kann man Stück für Stück Vielfache der letzten Zeile von der 2-ten und 1-ten Zeile

abziehen, was man mit den $A(\lambda,i,j)$ macht ...

Comments

Danke für das Beispiel, ich verstehe die Aufgabe nun bisschen besser. Hättest du vielleicht eine Idee für einen Ansatz? Ich weiß nicht ob man das mit Reihendarstellung lösen kann, wie bei meinem Kommentar oben angedeutet.

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Was meinst du mit "Ansatz". Du musst doch nur mein

Beispiel allgemein aufschreiben mit n statt 3 usw. ...

Z.B. kannst du doch die Diagonalelemente alle mit

$M(a_{11}^{-1},1) \cdots M(a_{nn}^{-1},n)$ auf den Wert 1 bringen, usw. usw.

wächters Idee mit der vollständigen Induktion wäre auch noch

eine gute Möglichkeit.

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$M(a_{11}^{-1},1) \cdots M(a_{nn}^{-1},n)$

An der Stelle m₁₁ steht das inverse Element von der Dreiecksmatrix A der Stelle a₁₁, bzw. an der Stelle m_nn steht das inverse Element von der Dreiecksmatrix A der Stelle a_nn?
Wie kann ich das verstehen? Warum muss man das auf den Wert 1 bringen?

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Weil es dann einfacher wird, die Elemente oberhalb der

Diagonalen mit Hilfe der $A(\lambda, i, j)$ zu Null zu machen.

Ich habe den Eindruck, dass du mein Beispiel nicht

verstanden hast. Dort wird doch alles exemplarisch

durchgeführt. Habe es in meiner Antwort noch weiter

durchgeführt.

Answer 2

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/qbtj5mhd

eine zusammenfassung zu elementarmatrizen

typen und anwendung zum gauß algorithmus

ggf. wirst du eine induktion machen wollen/müssen.

Comments

Weswegen braucht man hier den Gauß Algorithmus und Induktion? Ich dachte man muss nur zeigen, was im Fall i>j passiert mit b_i,j = ∑_k=1ⁿ m_ik * a_kj
Hier können nur die Fälle 0*1 + 0*0 + ... + 0*λ = 0 oder 0*1 + 0*0 + ... + 0*0 = 0  auftauchen, demnach hat man die Voraussetzung B = (b_ij) mit i>j ⇒ b_ij = 0  erfüllt. Mein Problem ist 0*1 + 0*0 + ... 0*λ = 0 zu beweisen.

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nennen wir die dreicksmatrix R und generieren eine Reihe von Elementarmatrizen E_i mit

E₁…E_n R = id

R = E_n^-1 … E₁^-1

Elementarmatrizen invers siehe link oben…

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E1…En R = id

R = En-1 … E1-1

Was zeigt man damit genau?