Gegeben ist Matrix A(t). Bestimme die Polynome so dass für die Menge S gilt: x ∈ S ↔ A(x) positiv definit.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die symmetrische Matrix

A(t) =\( \begin{pmatrix} t-2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & t+1 \end{pmatrix} \)

mit Einträgen in ℝ[t]. Bestimmen Sie die Polynome g₁ , . . . , g_r ∈ ℝ[t] (für ein r ∈ ℕ ),

sodass für die Menge S := {x∈ℝ : g₁(x), . . . , g_r(x) > 0} gilt: x ∈ S ↔ A(x) positiv definit.

Könnte jemand bei der Aufgabe helfen?

LG Blackwolf

Comments

Die führenden Hauptminoren müssen positiv sein, d.h.$$t-2>0,\;\begin{vmatrix}t-2&3\\3&1\end{vmatrix}>0,\;\begin{vmatrix}t-2&3&4\\3&1&-1\\4&-1&t+1\end{vmatrix}>0.$$