Question

Bestimmen Sie \( \max \{x y z: x, y, z>0, x+y+z=1\} \).

Answer 1

Mit Lagrange etwa so:

L(x,y,z,λ) = xyz + λ(x+y+z-1)

partielle Ableitungen nach x und y sind yz+λ   und   xz+λ .

Beide 0 setzen und z>0 beachten gibt x=y.

Entsprechend mit 2 anderen partiellen Ableitungen y=z

Also alle 3 gleich und aus  x+y+z=1 folgt dann

Max erreicht für x=y=z=1/3 also maximaler Wert  1/27.

Comments

Muss man dann noch mit der Hessematrix o. ä. überprüfen, dass es sich wirklich um das Maximum handelt?

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Vermutlich schon. Wenn man natürlich die

Aufgabenstellung so interpretiert:

"Es gibt ein Max, bestimmen Sie den Wert!"

dann wohl nicht.

Answer 2

Ohne Lagrange: Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Wegen AM≥GM und (hier) AM=1/3 kann GM auch maximal 1/3 werden, was für x=y=z=1/3 tatsächlich erreicht wird, also ist Max(xyz)=1/27.