Berechnen Sie die partiellen Ableitungen ∂x g(1, 1) ) und ∂y g(1, 1).

Question

Aufgabe:

Es sei ƒ(x, y, z) := e^xyz . Die stetig partiell differenzierbare Funktion g wird implizit wie folgt definiert :

g(1,1) := ln(2) ,  ƒ(x ,y, g(x , y)) : = 2

Berechnen Sie die partiell Ableitungen  ∂_x g(1, 1) ) und ∂_y g(1, 1).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich diese Aufgabe lösen ?

Comments

Nach Aufgabentext sollst Du wohl den Satz über implizite Funktionen verwenden. (Das wäre hier nicht unbedingt nötig)

Answer 1

Aloha :)

Wir definieren uns eine Hilfsfunktion:$$h(x;y)\coloneqq\begin{pmatrix}x\\y\\g(x;y)\end{pmatrix}$$dann ist$$f(x;y;g(x;y))=(f\circ h)(x;y)$$und wir erhalten die Ableitung (Jacobi-Matrix) mittels der Kettenregel:$$\phantom=J_f(x;y;g)$$$$=J_f(h_1;h_2;h_3)\cdot J_h(x;y)=\left[e^{xyz}\begin{pmatrix}yz & xz & xy\end{pmatrix}\right]_{(h_1;h_2;h_3)}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}$$$$=e^{xyg}\begin{pmatrix}yg & xg & xy\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}=e^{xyg}\begin{pmatrix}yg+xy\frac{\partial g}{\partial x} & xg+xy\frac{\partial g}{\partial y}\end{pmatrix}$$

Da die Funktion \(f(x;y;g(x;y))=2\) konstant sein soll, müssen alle Komponenten der gerade bestimmten Jacobi-Matrix verschwinden. Da \(e^{xyg}>0\), heißt das:$$0\stackrel!=yg+xy\frac{\partial g}{\partial x}\implies\frac{\partial g}{\partial x}=-\frac{yg}{xy}=-\frac{g}{x}\implies\frac{\partial g}{\partial x}(1;1)=-\frac{g(1;1)}{1}=-\ln(2)$$$$0\stackrel!=xg+xy\frac{\partial g}{\partial y}\implies\frac{\partial g}{\partial y}=-\frac{xg}{xy}=-\frac{g}{y}\implies\frac{\partial g}{\partial y}(1;1)=-\frac{g(1;1)}{1}=-\ln(2)$$