Bestimmen Sie das Volumen des folgenden Körpers.

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen des folgenden Körpers.

Problem/Ansatz: In den Musterlösungen sind zwei Dinge,die ich nicht verstehe:

1.Warum ist r0   =\( \sqrt{z0} \) -z0²  der Radius der Kreise

2. Warum ist x2  + y2  =\( \sqrt{z0} \) -z02  ein Kreis um den Punkt (0/0) ?

Text erkannt:

Aufgabe 3
Bestimmen Sie das Volumen des Körpers \( K \), der von der Fläche
\( \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=z \)
begrenzt wird.
Schaubild des Körpers \( K \).

Text erkannt:

Lösung:
Der Körper \( K \) liegt zwischen den beiden Ebenen \( z=0 \) und \( z=1 \). Der Schnitt der Berandung des Körpers \( K \) mit der Ebene \( z=z_{0}, z_{0} \in[0,1] \), lautet
\( \begin{array}{r} \left(x^{2}+y^{2}+z_{0}^{2}\right)^{2}=z_{0} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}+z_{0}^{2}=+\sqrt{z_{0}} \Longleftrightarrow x^{2}+y^{2}=\sqrt{z_{0}}-z_{0}^{2} . \\ \text { Dies ist ein Kreis um den Punkt } \left.(0,0) \text { vom Radius } r_{0}=\sqrt{\sqrt{z_{0}}-z_{0}^{2}}\right) \text { mit Flächeninhalt } \\ F\left(z_{0}\right)=\pi \cdot r_{0}^{2}=\pi \cdot\left(\sqrt{z_{0}}-z_{0}^{2}\right) . \end{array} \)
Damit gilt mit dem Prinzip von Cavalieri
\( \operatorname{Vol}(K)=\int \limits_{0}^{1} F(z) d z=\int \limits_{0}^{1} \pi \cdot\left(\sqrt{z}-z^{2}\right) d z=\pi \cdot\left[\frac{2}{3} \cdot z^{\frac{3}{2}}-\frac{z^{3}}{3}\right]_{z=0}^{1}=\frac{\pi}{3} \)

Comments

Die Gleichung \( (x-a)^2+(y-b)^2 =r^2 \) beschreibt einen Kreis mit Radius r um den Punkt (a,b)

Answer 1

Warum ist r0   =\( \sqrt{z0} \)-z02  der Radius der Kreise

\(\begin{aligned} \left(x^{2}+y^{2}+z_{0}^{2}\right)^{2} & =z_{0} &  & |\sqrt{\square}\\ x^{2}+y^{2}+z_{0}^{2} & =\sqrt{z_{0}} &  & |-z_0^{2}\\ x^{2}+y^{2} & =\sqrt{z_{0}}-z_{0}^{2} \end{aligned}\)

Warum ist x2  + y2  =\( \sqrt{z0} \)-z02  ein Kreis um den Punkt (0/0) ?

Satz des Pythagoras.

Answer 2

Aloha :)

Ich würde die Situation in Kugelkoordinaten betrachten.$$0\le(x^2+y^2+z^2)^2\le z\implies 0\le r^4\le r\cos\vartheta$$Damit \(\cos\vartheta\ge0\) ist, muss \(\vartheta\in[0;\frac\pi2]\) gelten.

Für \(r=0\) gilt die Bedingung. Für \(r>0\) gilt \(r^3\le\cos\vartheta\). Daher ist \(r\in[0;\cos^{\frac13}(\vartheta)]\)

Das gesuchte Volumen ist nun:$$V=\int\limits_{r=0}^{\cos^{\frac13}(\vartheta)}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\left(\int\limits_{r=0}^{\cos^{\frac13}(\vartheta)}r^2\,dr\right)\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom{V}=2\pi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=0}^{\cos^{\frac13}(\vartheta)}\sin\vartheta\,d\vartheta=\frac{2\pi}{3}\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi/2}\cos\vartheta\,\sin\vartheta\,d\vartheta=\frac{2\pi}{3}\left[\frac12\sin^2\vartheta\right]_{\vartheta=0}^{\pi/2}=\frac\pi3$$