Aufgabe:
Berechnen sie die Länge der Kardiode $$r(x)=1+cos(x); x\in\left[0,2\pi\right]dx$$
Die Länge ist gegeben durch:
$$L=\int \limits_{a}^{b}\sqrt{r^2(x)+r'(x)^2}dx$$
Problem/Ansatz:
Eingesetzt ergibt dass dann ja
$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{(1+cos(x))^2+sin^2(x)}dx$$
Dann mit cos^2(x)+sin^2(x)=1 wird es zu
$$L=\int \limits_{0}^{2\pi} \sqrt{2+2cos(x)}dx$$
Dann ziehe ich die 2 raus und komme auf
$$L= \int \limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2}*\sqrt{1+cos(x)}dx$$
Um leichter zu integrieren wende ich dann die Identität $$cos(x/2)=\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}$$ an und komme auf:
$$L=\int \limits_{0}^{2\pi}2\sqrt{cos(x/2)}dx$$
Nun muss ich nurnoch integrieren, und hier liegt irgendwie mein Problem. Ich komme auf:
$$L=4sin(x/2)$$ mit den Grenzen [0,2pi]
Wenn ich diese nun einsetze komme ich auf $$L=4*[sin(\pi)-sin(0)]=0$$ da sin(pi) und sin(0) gleich 0 sind.
In der Musterlösung steht aber dass die Lösung 8 betragen muss, und ein Integralrechner im Internet sagt das selbe.
Hat das etwas damit zu tun, dass der positive und der negative Anteil vom Sinus sich zwischen [0,2pi] auusgleicht?
Es wäre nett wenn mir jemand erklären könnte, wo ich hier den Fehler gemacht habe.
