Aloha :)
In Kugelkoordinaten kannst du die Punktmenge \(B\) wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\sin\vartheta\cos\varphi\\r\sin\vartheta\sin\varphi\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[1;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$
Mit dem Gaußschen Satz \((d\vec f=dV\vec\nabla)\) kannst du den Fluss des Vektorfeldes \(\vec v\) durch die geschlossene Oberfläche von \(B\) auf ein Volumenintegral zurückführen:$$\Phi=\oint\limits_{\partial B}\vec v\,d\vec f=\oint\limits_{\partial B}d\vec f\,\vec v=\int\limits_B(dV\,\vec\nabla)\,\vec v=\int\limits_B(\vec\nabla\,\vec v)\,dV=\int\limits_B(1+z)\,dV$$
Wir gehen zu den obigen Kugelkoordinaten über:$$\phi=\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi(1+\underbrace{r\cos\vartheta}_{=z})\,\underbrace{r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}$$$$\phantom{\phi}=2\pi\int\limits_{r=1}^2\;\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\left(r^2\sin\vartheta+\frac12r^3\sin(2\vartheta)\right)\,dr\,d\vartheta=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left[-r^2\cos\vartheta-\frac14r^3\cos(2\vartheta)\right]_{\vartheta=0}^{\pi}dr$$$$\phantom\phi=2\pi\int\limits_{r=1}^2\left(\left(r^2-\frac{r^3}{4}\right)-\left(-r^2-\frac{r^3}{4}\right)\right)\,dr=2\pi\int\limits_{r=1}^22r^2\,dr=\frac{4\pi}{3}\left[r^3\right]_{r=1}^2=\frac{28\pi}{3}$$
