Extrema einer e-Funktion bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion f ein lokales Extremum annimt und entscheiden Sie, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt.

a) f(x,y) = e^xy-x

Problem/Ansatz:

Gradf = \( \begin{pmatrix} y * e^xy -1\\x * e^xy \end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

x*e^xy = 0 <=> x = 0 => in erste Gleichung: y * e⁰ - 1 = 0 <=> y *1 -1 = 0 <=> y = 1

P(0,1) mögliches Extrema.

Hf = \( \begin{pmatrix} y2 * e^xy & yx * e^xy \\ e^xy + x * e^xy & x^2 * e^xy \end{pmatrix} \)

Hf(0,1) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

Ist bis hierhin alles korrekt? Dann weiter: erster Hauptminor 1 > 0, det(Hf(0,1) = 0. Ist die Matrix dann positiv semidefinit, und es handelt sich um ein lokales Minimum?

Answer 1

Überprüfe bitte H(f). Die Matrix müsste symmetrisch sein.

Leider kann ich deine Ableitungen nicht entziffern.

Liebe Grüße

EL

Comments

dankeschön, die Hessematrix habe ich jetzt symmetrisch, der Punkt ist aber (0,1).

Der erste Minor ist trotzdem 1 > 0, und die Determinante ist = 0. Um was für ein Extremum handelt es sich dann?

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Ich erhalte

H(f)(0,1) = 1 1

                 1 0

Mit symmetrisch meine ich, dass die Einträge an den Stellen 1,2 und 2,1 gleich sein müssten.

Liebe Grüße

EL

Answer 2

Aloha :)

Wir suchen die Extrema der Funktion$$f(x;y)=e^{xy}-x$$

Kandidaten finden wir dort, wo der Gradient verschwindet:$$\binom{0}{0}\stackrel!=\operatorname{grad}f(x;y)=\binom{ye^{xy}-1}{xe^{xy}}$$Wegen \(e^{xy}>0\) folgt aus der 2-ten Koordinatengleichung \(x=0\). Damit folgt aus der 1-ten Koordinatengleichung \(y=1\). Daher gibt es nur den Kandidaten \((0|1)\) für Extrema.

Wir prüfen den Kandidaten mit der Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\left(\begin{array}{cc}y^2e^{xy} & e^{xy}(xy+1)\\e^{xy}(xy+1) & x^2e^{xy}\end{array}\right)=e^{xy}\left(\begin{array}{cc}y^2 & xy+1\\xy+1 & x^2\end{array}\right)\implies$$$$H(0;1)=\left(\begin{array}{cc}1 & 1\\1 & 0\end{array}\right)$$Die Hauptminoren sind \(1\) und \(-1\). Daher ist die Matrix indefinit und unser Kandidat \((0|1)\) ist durchgefallen. Die Funktion hat keine Extrema.