Aloha :)
Nein, das ist nicht null. Potenzen sind bei komplexen Zahlen immer gefährlich...
$$-1+i=\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot e^{i(\arctan\left(\frac{1}{-1}\right)\pink{+\pi})}=\sqrt2\cdot e^{i\left(-\frac\pi4+\pi\right)}=\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}$$Das \(\pink{+\pi}\) ist als Korrektur für den Winkel bei negativem Realteil nötig, weil die \(\arctan()\)-Funktion nicht zwischen dem 1-ten und 3-ten Quadranten (Zähler und Nenner haben dasselbe Vorzeichen) sowie dem 2-ten und 4-ten Quadranten (Zähler und Nenner haben unterschiedliche Vorzeichen) unterscheiden kann.$$(-1+i)^4=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)^4=\left(\sqrt2\right)^4\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}\cdot 4}=4\cdot e^{i\,3\pi}=4\cdot e^{i\,\pi}\cdot e^{\green{i\,2\pi}}=4\cdot e^{i\pi}$$
Das Weglassen des Faktors \((e^{\green{i\,2\pi}}=1)\) ist das Gefährliche !!!
In der Gauß'schen Zahleneben liegen die beiden Zahlen \((4\cdot e^{i\,3\pi})\) und \((4\cdot e^{i\,\pi})\) an dem gleichen Punkt. Aber sie sind nicht identisch. Der Ortsvektor zu \((4\cdot e^{i\,3\pi})\) hat eine komplette Umdrehung mehr hinter sich als der Ortsvektor zu \((4\cdot e^{i\,\pi})\). Wenn du nun z.B. die Wurzel ziehst, wird die Hälfte der Ortsvektor-Umdrehungen wieder rückgängig gemacht. Dann liegen die beiden Ortsvektoren nicht mehr übereinander:$$\sqrt{4\cdot e^{i\,3\pi}}=4^{\frac12}\cdot\left(e^{i\,3\pi}\right)^{\frac12}=2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{2}}=-2\,i$$$$\sqrt{4\cdot e^{i\,\pi}}=4^{\frac12}\cdot\left(e^{i\,\pi}\right)^{\frac12}=2\cdot e^{i\,\frac{\pi}{2}}=+2\,i$$
Du musst beim Anwenden der Potenzgesetze bei komplexen Zahlen immer im Hinterkopf haben, dass zwei Zahlen zwar in der Gauß'schen Ebenen übereinander am selben Punkt liegen können, aber trotzdem eine unterschiedliche Anzahl Umdrehungen absolviert haben können. Wenn du das ignorierst, kann es zu unangenehmen Bugs kommen.
Hier in der Aufgabe ist konkret:$$\phantom{=}\ln\left((-1+i)^4\right)-4\ln(-1+i)$$$$=\ln\left(4\cdot e^{i\pi}\right)-4\ln\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)$$$$=\ln(4)+\ln(e^{i\,\pi})-4\left(\ln(2^{\frac12})+\ln\left(e^{i\,\frac{3\pi}{4}}\right)\right)$$$$=\ln(4)+i\pi-\ln\left((2^{\frac12})^4\right)-4\cdot i\,\frac{3\pi}{4}$$$$=\ln(4)+i\,\pi-\ln(4)-i\,3\pi$$$$=-i\,2\pi$$
