Partielle Ableitung von z=√(x^2+y^2)

Question

Man soll alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung bestimmen. Die Funktion lautet z= √(x^2+y^2)

Was ich bereits habe:

f₁'(x,y) = x(x²+y²)^-1/2

f₂'(x,y) = y(x²+y²)^-1/2

f₁₂''(x,y) = f₂₁''(x,y) = -xy(x²+y²)^-3/2

doch bei f₁₁ und f₂₂ scheitere ich...

Answer 1

Für die partiellen Ableitungen schreibt man nicht f₁ usw. sondern f_x usw. damit man sieht, nach welcher Variable abgeleitet wird:

Es gilt:

f_xx = d / dx  ( x * ( x ² + y ² ) ^-1/2 )

Mit Produktregel:

= 1 * ( x ² + y ² ) ^-1/2 + x * 2 x * ( - 1 / 2 ) * ( x ² + y ² ) ^-3/2

= ( x ² + y ² ) ^-1/2 -  x ² * ( x ² + y ² ) ^-3/2

= ( x ² + y ² ) * ( x ² + y ² ) ^-3/2 -  x ² * ( x ² + y ² ) ^-3/2

= ( x ² + y ² - x ² ) * ( x ² + y ² ) ^-3/2

= y ² * ( x ² + y ² ) ^-3/2

sowie dual dazu:

f_yy = d / dy  ( y * ( x ² + y ² ) ^-1/2 )

= ...

= x ² * ( x ² + y ² ) ^-3/2