Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Graph G(f) durch den Ursprung und …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Graph $G(f)$ durch den Ursprung und den Punkt $P(3 \mid 0)$ geht und im Punkt $Q(1 \mid f(1))$ die Tangente t: $y=-\frac{3}{4}$ besitzt.

für b und c habe ich nach meinen Bedingungen Werte wie d=0, b=-6a und c=9a gefunden. Ich finde keinen Ansatz für a, dessen Koeffizient ich mit -1/3 kenne. Noch nie ist mir eine Tangente wie o.a. begegnet.

Wer hilft mir? Danke dafür im Voraus, hathie

Text erkannt:

Der Graph $G(f)$ einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades berührt die x-Achse bei $x=-3$. Die Steigung der Tangente im Punkt $P(0 \mid-9)$ beträgt 3 .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion $\mathrm{f}$.

Comments

Als Lösung war aber die Gleichung: f(x)= -1/3x³+2x²-3x

vorgegeben! Wie muss ich das nun verstehen?

Danke für die Antwort, wie kann ich sie honorieren?

Gern gäbe ich einen Obolus.

hathie

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Die Lösung kann nicht stimmen.

Die Tangente zu dieser Funktion ist y = - 4/3

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Danke, Danke, man kann also Vorgaben nicht immer trauen- Danke hathie

Answer 1

Knackpunkt ist, dass du aus der Tangente y=-3/4 zwei Informationen herauslesen kannst/musst. Diese Tangente ist eine waagrechte Gerade auf der Höhe -3/4 (siehe Abb.). Weil sie waagrecht ist, heißt das, die erste Ableitung der Funktion f ist an der Stelle 1 gleich. Es heißt aber auch, dass die Funktion f an der Stelle 1 den Wert -3/4 annimmt.

Ganze Lösung:

Du hast die allgemeinen Gleichungen:

$$\begin{aligned}f(x)&=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)&=3ax^2+2bx+c\end{aligned}$$

Damit kannst du nun folgende Gleichungen aufstellen:

$$\begin{aligned}&\text{f geht durch den Ursprung}\\&\Rightarrow\text{I}:\quad d=0\\&\text{f geht durch (3|0)}\\&\Rightarrow\text{II}:\quad 0 = a\cdot3^3+b\cdot3^2+c\cdot3\\&\text{Tangentensteigung an der Stelle 1 ist 0 (bedenke Def. der Ableitung)}\\&\Rightarrow\text{III}:\quad0=3a\cdot 1^2+2b\cdot 1 + c\\&\text{an der Stelle 1 ist die Höhe der Tangente, also auch der Funktion, -3/4}\\&\Rightarrow\text{IV}:\quad -\frac34=a\cdot1^3+b\cdot1^2+c\cdot1\end{aligned}$$

Dieses Gleichungssystem führt zu: f(x)=-0.188x³+1.125x²-1,688x+0, diese Funktion stimmt auch (siehe Abb.) mit den gegebenen Größen überein.

Answer 2

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse verläuft, so wie hier,

dann verschwindet die erste Ableitung von f, also hier f'(1)=0.

f hat in 0 und 3 eine Nullstelle, hat also die Gestalt

$f(x)=x(x-3)(ax+b) = ax^3+(b-3a)x^2-3bx$.

Damit ist

$f'(x)=3ax^2+2(b-3a)x-3b$, folglich

$0=f'(1)=3a+2(b-3a)-3b=3a+b\quad(*)$.

Wegen $f(1)=-3/4$ bekommen wir

$-3/4=f(1)=1\cdot(1-3)(a+b)$, also $8a+8b=3\quad (**)$

$(*)$ und $(**)$ liefern $a=-3/16,\; b=9/16$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = x·(x-3)·(-3/16·x+9/16)

Answer 3

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f(0) = 0 → Koordinatenursprung
f(3) = 0 → Punkt (3 | 0)
f(1) = -3/4 → Das ist t(1)
f'(1) = 0 → Das ist t'(1)

Gleichungssystem

d = 0
27·a + 9·b + 3·c + d = 0
a + b + c + d = -3/4
3·a + 2·b + c = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,1875·x³ + 1,125·x² - 1,6875·x
f(x) = - 3/16·x³ + 9/8·x² - 27/16·x
f(x) = - 3/16·x·(x - 3)²

Skizze

Plotlux öffnen

f₁(x) = -0,1875x³+1,125x²-1,6875xf₂(x) = -3/4P(0|0)P(3|0)P(1|-3/4)

Comments

Als Lösung war die Gleichung f(x)= -1/3x³ + 2x² -3

angegeben. Wie muss ich das nun verstehen? den Punkt P(1│-3/4) hab ich nicht erkannt.

Danke für die Hilfe, wie kann ich sie honorieren?

hathie

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Als Lösung war die Gleichung f(x)= -1/3x^3 + 2x^2 - 3 angegeben

Das kann offensichtlich nicht stimmen, denn diese Funktion geht ja nicht mal durch den Koordinatenursprung.

Wenn Q(1 | f(1)) der Berührpunkt ist dann brauchst du den Funktionswert und die Steigung an dieser Stelle

t(x) = -3/4

t(1) = -3/4
t'(1) = 0

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Merke:

Wenn die Tangente t den Graphen f an der Stelle a berührt, dann gilt:

f(a) = t(a)
f'(a) = t'(a)

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Da kann ich mich tagelang abschinden.

Danke, das werde ich mir merken.wie kann ich das honorieren?

hthie

Answer 4

"Bestimmen Sie die Gleichung der ganzrationalen Funktion f dritten Grades, deren Graph $G(f)$ durch den Ursprung und den Punkt $P(3 \mid 0)$ geht und im Punkt $Q(1 \mid f(1))$ die Tangente t: $y=-\frac{3}{4}*x$ besitzt."

Graph durch Ursprung und P:

$f(x)=a*x*(x-3)*(x-N₂)$

$f´(x)=a*(x-3)*(x-N₂)+a*x*(x-N₂)+a*x*(x-3)$

$f´(1)=a(1-3)(1-N₂)+a(1-N₂)+a(1-3)$=$2 a(N₂-1)+a(1-N₂)-2a$

$2 a(N₂-1)+a(1-N₂)-2a=-\frac{3}{4}$

$2 a(1-N₂)+a(N₂-1)+2a=\frac{3}{4}$

$a*(2-2N₂+N₂-1+2)=\frac{3}{4}$

$a*(3-N₂)=\frac{3}{4}$ → $a=\frac{3}{12-4N₂}$

$f(x)=\frac{3}{12-4N₂}*x*(x-3)*(x-N₂)$

Comments

Ich habe nicht beachtet, dass die Tangente parallel zur x Achse ist. Bei mir kommt somit eine Parabelschar heraus. So geschieht es, wenn man nicht genau liest. Mea culpa!

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Diese Art die Funktionsgleichung aufzustellen ist mir völlig ungeläufig, wo lernt man das?

Danke für die Antwort, hathie

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Da deine gesuchte Parabel durch zwei Nullstellen geht, bietet sich die Nullstellenform der Parabel an.

$f(x)=a*(x-N₁)*(x-N₂)*(x-N₃)$

Sie auch das Beispiel bei:

https://www.mathelounge.de/287985/steckbriefaufgabe-ganzrationale-fu…

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Diese Form ist mir bisher noch nie begegnet - man lernt nie aus!!!

Danke, Danke, Danke

wie kann ich das vergüten?

hathie