Einer Parabel wird ein Dreieck einbeschrieben, sodass der Flächeninhalt maximal wird

Question

Der Parabel f(x) = -0.5 x² + 4.5 soll ein gleichseitiges Dreieck OPQ mit der Spitze O(0/0) und der Basis PQ einbeschrieben werden. Der Punkt P liegt im ersten, der Punkt Q im zweiten Quadranten. Berechnen Sie die Kordinaten von P und Q so dass der Flächeninhalt maximal wird.

Bräuchte schnelle Hilfe

Mit Freundlichen Grüssen 

Answer 1

Skizze

A = x * f(x) = 4.5·x - 0.5·x^3

A' = 4.5 - 1.5·x^2 = 0
x = √3

f(√3) = 3

Die Koordinaten sind daher [√3, 3] und [-√3, 3].

Answer 2

Ich betrachte hier zunächst nur den ersten Quadranten und berechne das maximal große Teildreieck des gesuchten gleichseitigen Dreiecks, das in diesem Quadranten liegt. Der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks ist dann doppelt so groß.

Sei also P ( x , f ( x ) )  der Eckpunkt der Basis im ersten Quadranten.

Dann hat das Teildreieck die Höhe

h ( x ) = f ( x ) = - 0,5 x ² + 4,5

und seine Breite ist

c ( x ) = x.

Das Teildreieck ist rechtwinklig mit den Katheten h ( x ) und c ( x ) , also ist sein Flächeninhalt:

A ( x ) = h ( x ) * c ( x ) / 2

= ( - 0,5 x ² + 4,5 ) * x / 2

=  - 0,25 x ³ + 2,25 x

 

Bestimmung der Extremwerte von A ( x ) :

A ' ( x ) = 0

<=> - 0,75 x ² + 2,25 = 0

<=> x ² = 3

<=> x = +/- √ 3

Da nur der erste Quadrant betrachtet wird, ist: 

x = √ 3

 

Bestimmung der Art der Extremstellen:

A ' ' ( x ) = - 3 x  < 0 für x > 0

Also liegt bei x = √ 3 ein Maximum des Flächeninhaltes des Teildreiecks vor.

 

Die Koordinaten des Punktes P sind

P ( √ 3 | 3 )

und die des Punktes Q:

Q ( - √ 3 | 3 )

 

Der Flächeninhalt des maximal großen  gleichseitigen Dreiecks ist

A_max = 2 * A (√ 3 ) = 2 * ( - 0,25 ( √ 3 ) ³ + 2,25 * √ 3 )

= - 0,5 ( √ 3 ) ³ + 4,5 √ 3

= - 1,5 √ 3 + 4,5 √ 3

= 3 √ 3

≈ 5,196 cm ²

Comments

vielen dank ;) doch verstehe ich irgendwie das mit den extremwerten noch nicht so ganz.. wäre sehr dankbar wenn das mir noch jemand genauer erklären könnte.