Rekursiv definierte Folge auf Konvergenz untersuchen

Question

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbf{N}}$ die rekursiv definierte Folge

$a_{1}:=0, \quad a_{n+1}:=\frac{2}{3} a_{n}+3, \quad n \in \mathbb{N} .$
i) Zeigen Sie zunächst $0 \leqslant a_{n} \leqslant 9$ für alle $n \in \mathbb{N}$.
ii) Untersuchen Sie anschließend die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

Hallo zusammen:) leider verstehe ich noch nicht, wie man bei solchen Aufgabentypen vorgehen soll und wie die Notation der Zwischenschritte aussehen soll. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen

Vielen Dank schonmal:)

Comments

Zeige, dass die Folge beschränkt und monoton ist. Schließe daraus Konvergenz.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist die Folge:$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad;\quad a_1\coloneqq0$$

zu i) Wie zeigen durch vollständige Induktion, dass $0\le a_n\le9$ gilt. Wegen $a_1=0$ können wir die Induktion bei $n=1$ verankern. Der Induktionsschritt von $n$ auf $(n+1)$ lautet:$$0\le a_n\le9\stackrel{\cdot\frac23}{\implies}0\le\frac23a_n\le6\stackrel{+3}{\implies}3\le\frac23a_n+3\le9\implies3\le a_{n+1}\le9$$Damit haben wir gezeigt, dass sogar $3\le a_n\le9$ für $n>1$ gilt.

zu ii) Wir untersuchen nun das Monotonieverhalten der Folge. Dazu halten wir zuerst fest, dass nach Teil i) für alle $n\in\mathbb N$ gilt:$$0\le a_n\le9\implies 0\ge-a_n\ge-9\implies-\frac13a_n\ge-3$$Das bedeutet für 2 aufeinander folgende Folgenglieder:$$a_{n+1}-a_n=\left(\frac23a_n+3\right)-a_n=-\frac13a_n+3\ge-3+3=0$$Es ist also $a_{n+1}-a_n\ge0$ bzw. $a_{n+1}\ge a_n$, sodass die Folge monoton wächst.

Da jede beschränkte und monotone Folge konvergiert, trifft dies auch auf unsere Folge zu. Wir bestimmen noch den Grenzwert $a$:$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac23a_n+3\right)\quad\bigg|\text{Grenzwertsätze für Summen und für Produkte}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\frac23\lim\limits_{n\to\infty}a_n+3\quad\bigg|a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$a=\frac23a+3\quad\bigg|-\frac23a$$$$\frac13a=3\quad\bigg|\cdot3$$$$a=9$$

Answer 2

Hallo

 1. Schritt vollständig Induktion a₀ <9

aus a_n<9 folgere a_n+1<9

2. Schritt indem du 1 ausnutzt zeigst  du Folge steigt monoton entweder a_n+1-a_n>0 oder a_n+1/a_n>1

3, damit weiss man die Folge an->g und an+1->g  konvergiert  , also g=2/3g+3

Gruß lul