Aloha :)
Gegeben ist die Folge:$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad;\quad a_1\coloneqq0$$
zu i) Wie zeigen durch vollständige Induktion, dass \(0\le a_n\le9\) gilt. Wegen \(a_1=0\) können wir die Induktion bei \(n=1\) verankern. Der Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) lautet:$$0\le a_n\le9\stackrel{\cdot\frac23}{\implies}0\le\frac23a_n\le6\stackrel{+3}{\implies}3\le\frac23a_n+3\le9\implies3\le a_{n+1}\le9$$Damit haben wir gezeigt, dass sogar \(3\le a_n\le9\) für \(n>1\) gilt.
zu ii) Wir untersuchen nun das Monotonieverhalten der Folge. Dazu halten wir zuerst fest, dass nach Teil i) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt:$$0\le a_n\le9\implies 0\ge-a_n\ge-9\implies-\frac13a_n\ge-3$$Das bedeutet für 2 aufeinander folgende Folgenglieder:$$a_{n+1}-a_n=\left(\frac23a_n+3\right)-a_n=-\frac13a_n+3\ge-3+3=0$$Es ist also \(a_{n+1}-a_n\ge0\) bzw. \(a_{n+1}\ge a_n\), sodass die Folge monoton wächst.
Da jede beschränkte und monotone Folge konvergiert, trifft dies auch auf unsere Folge zu. Wir bestimmen noch den Grenzwert \(a\):$$a_{n+1}=\frac23a_n+3\quad\bigg|\lim\limits_{n\to\infty}(\cdots)$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac23a_n+3\right)\quad\bigg|\text{Grenzwertsätze für Summen und für Produkte}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} a_{n+1}=\frac23\lim\limits_{n\to\infty}a_n+3\quad\bigg|a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$$$a=\frac23a+3\quad\bigg|-\frac23a$$$$\frac13a=3\quad\bigg|\cdot3$$$$a=9$$
