Wie wendet man die Körperaxiome hier an?

Question

Aufgabe:

Es sei \( K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass \( \forall x, y \in K \) gelten

1. \( (-x) y=-x y=x(-y) \),
2. \( x \neq 0, y \neq 0 \operatorname{dann}(x y)^{-1}=y^{-1} x^{-1} \).

Problem/Ansatz.

Wie wende ich die körperaxiome hier an?

Answer 1

Zu 1.:

\(0=0\cdot y=(x+(-x))\cdot y=xy+(-x)y\Rightarrow (-x)y=-xy\quad (*)\).

Überlege dabei, welche Körpereigenschaften ich verwendet habe.

Wegen der Kommutativität der Multiplikation und \((*)\) gilt:

\(x(-y)=(-y)x=-yx = -xy\)

Comments

Achso ok ok verstehe. Ich könnte theoretisch das ganze auch dann auf -xy=x(-y) anwenden oder?

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Was hat das (∗) zu bedeuten?

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Das ist nur ein Symbol, damit ich auf eine bereits gemachte Aussage
verweisen kann.

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Achso ok. Bei der 2 kann ich dort mit x•x^-1 = 1 Argumentieren?

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Ja. Du kannst z.B. \((xy)(xy)^{-1}=1\) als Ausgangspunkt nehmen.

Dann mit \(x^{-1}\) von links multiplizieren und dann mit \(y^{-1}\) ...

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Das beweist doch schon dass x≠0 und y≠0 ist oder?

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Ja. Daher sind \(x\) und \(y\) invertierbar, da beide nicht Null sind.

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Also reicht das als beweis:

(xy)^-1 •(xy) = 1 => x≠0 und y≠0 dh. x,y sind inventierbar => (xy)^-1 = x^-1 y^-1

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Ich finde das nicht überzeugend. Eher wohl so:

\(1=(xy)(xy)^{-1}=x(y(xy)^{-1})\quad (1)\).

Wegen \(x\neq 0\) und \(y\neq 0\) existieren \(x^{-1}\) und \(y^{-1}\).

Man multipipliziere \((1)\) von links mit \(x^{-1}\):

\(x^{-1}=x^{-1}\cdot 1=x^{-1}x(y(xy)^{-1})=(x^{-1}x)(y(xy)^{-1})=y(xy)^{-1}\).

Dies multipliziere von links mit \(y^{-1}\):

\(y^{-1}x^{-1}=y^{-1}y(xy)^{-1}=(y^{-1}y)(xy)^{-1}=(xy)^{-1}\).

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Alles klar. Vielen Dank

Answer 2

Um etwa zu zeigen, dass (-x)y = -xy gilt, muss man zeigen

(-x)y ist das additive Inverse zu xy. Dazu muss man zeigen, dass

die Summe der beiden gleich 0 ist:

(-x)y + xy  Distributiv anwenden

= (-x+x)y

= 0y

= 0

Comments

Alles klar verstehe. Wie funktioniert es bei der 2. ?

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Da ist es analog. Du musst dir nur

klarmachen was das heißt, also:

\( y^{-1} x^{-1} \) ist unter den gegebenen Vor'en

das multiplikative Inverse von xy.

Also ist zu begründen

\( (y^{-1} x^{-1} ) \cdot (xy) = 1 \)

Da nutzt du am besten zunächst die Assoziativität

\( ( y^{-1} x^{-1} ) \cdot (xy) =  y^{-1} (x^{-1} \cdot x) y = \dots 1 \)

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Ich habe es versucht da kommt bei mir y^-1•y= 1

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Na das passt doch !