Ist das ein faires Spiel? Gleichzeitige Ziehung von 2 Kugeln

Question

Aufgabe:

 "In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Aus dieser Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen. Spieler A gewinnt, wenn beide Kugeln von der gleichen Farbe sind. Spieler B gewinnt, wenn die beiden Kugeln von verschiedener Farbe sind.
Ist das ein faires Spiel? Ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für beide Spieler gleich? Beantworten Sie die Frage jeweils für die folgenden Situationen:

a) In der Urne befinden sich zwei rote und zwei grüne Kugeln.

(b) In der Urne befinden sich eine rote und drei grüne Kugeln.

Problem/Ansatz:

\( \mathrm{P}(2 \mathrm{xgf})=\frac{\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}2 \\ 2\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}4 \\ 2\end{array}\right)}=0.1 \overline{6} \)

Ich mach schon wieder alles falsch was man falsch machen kann. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit mithilfe der hypergeometrischen Verteilung für 2 gleichfarbige Kugeln berechne, komme ich auf 0,16. Das kann aber nicht sein, da dann die Gegenwahrscheinlichkeit (2 verschieden farbige Kugeln) bei 0,84 läge. Wo liegt mein Fehler?

Comments

Da kommt 1/3 raus. Deine Rechnung ist korrekt.

(2 über 2)=1

(2 über 0)=1

Das ist richtig. Man könnte auch: 2/4*1/3+2/4*1/3 rechnen.

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Ja stimmt, habe wahrscheinlich im Zähler multipliziert statt addiert.

Die Wahrscheinlichkeit für 2 verschieden farbige Kugeln ist auch 1/3.

Könnte man als Antwort schreiben?:

A: Das Spiel ist fair, da beide Spieler eine 33,3% Wahrscheinlichkeit zu gewinnen haben.

oder ist das Falsch wegen dem Prozentzeichen?  Ich will ja sagen eine ... prozentige Wahrscheinlichkeit.

Muss da ein noch ein Bindestrich hin? also 33,3% - Wahrscheinlichkeit, aber ne das sieht ja auch komisch aus...

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Der Ausdruck ist wieder richtig, nur der Zahlenwert falsch. Da kommt 2/3 raus, was auch nicht verwundert, da {Beide verschiedene Farbe} das komplementäre Ereignis von {Beide gleiche Farbe} ist, d. h. zusammen Eins ergeben müssen.

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Warum wenn es 2 grüne und 2 rote Kugeln gibt, ist die Wahrscheinlichkeit höher zwei unterschiedliche Farben zu ziehen? Das verstehe ich iwie noch nicht so ganz.

Hab (ii) auch schon berechnet, da kommt dann für beide Spieler 0.5 raus. Dachte erst, dass (i) ein faires Spiel wäre und (ii) nicht.

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Hallo

soll die 33% für a) sein, da die Kugeln entweder gleich oder verschieden sind muss die Summe ja 100% sein also ist das falsch.

falls es für b sein soll ist es auch falsch  denn die Summe  stimmt dann nicht.

lul

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Warum wenn es 2 grüne und 2 rote Kugeln gibt, ist die Wahrscheinlichkeit höher zwei unterschiedliche Farben zu ziehen? Das verstehe ich iwie noch nicht so ganz.

Wenn du eine Kugel rausziehst, sagen wir eine grüne Kugel, dann ist es ja wahrscheinlicher, eine rote (also verschiedenfarbige) Kugel zu ziehen. In der Urne liegen dann noch drei Kugeln, darunter 2 rot und nur noch eine grün. Dann hast du 2/3 Wahrscheinlichkeit, eine rote (also verschiedenfarbige) Kugel zu ziehen und nur 1/3 eine rote. Und dann gibt's auch zwei Wege, verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen: Rot-Grün oder Grün-Rot. Das macht schon was hin. Insagesamt 2/3 WKT.

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Hab mir dazu jetzt einfach mal ein Baumdiagramm gezeichnet, sollte ich vielleicht öfter bei sowas machen

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Klar, ist immer gut zur Visualisierung.

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Hab mir dazu jetzt einfach mal ein Baumdiagramm gezeichnet, sollte ich vielleicht öfter bei sowas machen

Ich bin stolz auf dich ...

;-)

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:)) Danke

Wie zeichnet man eigentlich das Baumdiagramm für die zweite Aufgabe?

Ich bekomme oben rechts 2 mal einen Ast für eine rote Kugel, aber das kann ja auch nicht so ganz richtig sein.

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Wie zeichnet man eigentlich das Baumdiagramm für die zweite Aufgabe?

Du machst fast in jedem Post Fehler die man eigentlich durch etwas Sorgfalt nicht machen würde.

Du hast doch 1 rote Kugel und 3 grüne Kugeln. Dann ist doch die Wahrscheinlichkeit für grün 3/4 und nicht 1/4.

So würde das Baumdiagramm aussehen für Aufgabe b)

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@Hikoba

Man kann im Baum vom Coach oben theoretisch auch R-R eintragen, wobei allerdings am letzten Zweig 0/3 stehen müsste.

Answer 1

In einer Urne befinden sich vier Kugeln. Aus dieser Urne werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen.

Spieler A gewinnt, wenn beide Kugeln von der gleichen Farbe sind.
Spieler B gewinnt, wenn die beiden Kugeln von verschiedener Farbe sind.

Ist das ein faires Spiel? Ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen für beide Spieler gleich? Beantworten Sie die Frage jeweils für die folgenden Situationen:

a) In der Urne befinden sich zwei rote und zwei grüne Kugeln.

P(A gewinnt) = P(RR, GG) = 2/4 * 1/3 + 2/4 * 1/3 = 1/3

P(B gewinnt) = 2/3

(b) In der Urne befinden sich eine rote und drei grüne Kugeln.

P(A gewinnt) = P(GG) = 3/4 * 2/3 = 1/2

P(B gewinnt) = 1/2

Comments

Die Pfadmethode scheint hier wesentlich schneller zu sein.

Ab wie vielen Pfaden würdest du eigentlich lieber die hypergeometrische Verteilung verwenden?

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Meist lohnt sich die hypergeometrische Verteilung erst ab 5 Ziehungen. Ab n = 5 würde man auch die Binomialverteilung benutzen. Vorher lohnt sich das eigentlich auch nicht wirklich.

Beachte das du oben aufgrund der Symmetrie auch noch vereinfachen könntest

P(A gewinnt) = P(RR, GG) = 2 * 2/4 * 1/3 = 1/3