Ableitung von Funktionen 2x²-3x

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

LANDESSERVICESTELLE
LERNORTE DES ERINNERNS UND GEDENKENS
\( \begin{aligned} \text { geg.: } 2 x^{2}-3 x=f(x) \\ & x_{0}=2 \end{aligned} \)
\( \frac{f\left(x_{0}+h\right)^{-}-f\left(x_{0}\right)}{h} \)
a) \( f(3) \)
\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \)
\( \frac{\frac{2 \cdot 2^{2}-3 \cdot 2+h-2}{h}}{\frac{2 \cdot(2+h)^{2}-3 \cdot 2-2}{h}} \)

Answer 1

f ( x ) = 2*x^2 - 3*x
Willst du jetzt die Steigung bei
x = 2
oder
x = 3 wissen ?

Zur Kontrolle
f ´( x ) = 4*x - 3
f ´( 2 ) = 4*2 - 3 = 5
f ´( 3 ) = 4*3 - 3 = 9

Bei Bedarf nachfragen.

Answer 2

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h \to 0} \frac{2h^2+5h}{h}=\lim_{h\to 0} (5h+5)=5$$

Answer 3

$$f(x) = 2x^2 - 3x \newline m[x ; x+h] = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{(2(x+h)^2 - 3(x+h)) - (2x^2 - 3x)}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2(x+h)^2 - 3(x+h) - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2(x^2 + 2xh + h^2) - 3x - 3h - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{2x^2 + 4xh + 2h^2 - 3x - 3h - 2x^2 + 3x}{h} \newline m[x ; x+h] = \frac{4xh + 2h^2 - 3h}{h} \newline m[x ; x+h] = 4x + 2h - 3 \newline \text{Für h → 0 ergbibt sich} \newline m[x] = 4x - 3 \newline \text{Hier brauchen wir nur noch einsetzen.} \newline m[2] = 4 \cdot 2 - 3 = 8 - 3 = 5$$

Comments

$$f(x) = 2x^2 - 3x \newline f(3) = 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = 2 \cdot 9 - 9 = 9$$

Answer 4

H-Methode

\(\huge\lim{\text{h} \to 0}  \frac{\text{f}(\text{x}_0+\text{h})-\text{f}(\text{x}_0)}{\text{h}} \\\large x_0 = 2 \\\huge\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{\text{f}(2+\text{h})\,-\,\text{f}(2)}{\text{h}} \\\large f(x) = 2x^2-3x \\\huge\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{2(2+\text{h})^2-3(2+\text{h})\,-\,(2\cdot2^2-3\cdot2)}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{2(4+4\text{h}+\text{h}^2)-\,(6+3\text{h})\,-\,(8-6)}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{8+8\text{h}+2\text{h}^2-\,6-3\text{h}\,-\,2}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{\bcancel{\,8\,}+5\text{h}+2\text{h}^2-\,\bcancel{\,8\,}}{\text{h}}\\\lim{\text{h} \to 0}\,\, \frac{5\text{h}+2\text{h}^2}{\text{h}} = \frac{\bcancel{\text{\,h\,}}(5+2\text{h})}{\bcancel{\text{\,h\,}}} \\\lim{\text{h} \to 0}\,\, 5+2\text{h} = 5 \)