Berechne den Scheitelpunkt

Question

Aufgabe:

Berechne den Scheitelpunkt

Problem/Ansatz:

a) y= 0,5x²-2x+1,5

b) y= -2x²-8x-6

Ist der Scheitelpunkt von a) nicht (2/-1)

Und von b) nicht (-2/-1)?

Answer 1

Hallo,

forme um in die Scheitelpunktform

a) y= 0,5x²-2x+1,5         | 0,5 ausklammern

    y= 0,5 (x² -4x +3)       | quadratisch ergänzen

    = 0,5 ( x² -4x +2²-2² +3)

    = 0,5 ( ( x-2)² -4+3))

    =  0,5( (x-2)² -1   )

    = 0,5 (x-2)² -0,5        Scheitelpunkt ist S(2 | -0,5)

~plot~  (0,5)x^2-2x+1,5;        ~plot~

b ) y= -2x²-8x-6     | -2 ausklammern

     y = -2 (x² +4x +3 )       | quadratiesch ergänzen

        = -2 (x² +4x +2² -2² +3)

         = -2 ((x+2)² -4 +3)

         = -2 ((x+2)² -1)

         = -2 (x+2)² +2                           S ( -2| 2)

~plot~ -2x^2-8x-6        ~plot~

Comments

Und wo kommt dieser Quadratische Ergänzung also wie kommen sie auf 2² also haben sie 4durch 2 gerechnet oder was anderes ?

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y = -2* (x² +4*x +3 )

y = -2* (x² +4*x +(4/2)^2-(4/2)^2+3 )

Answer 2

Wenn Du bei a) und b) die x-Koordinate in die Funktion einsetzt, wirst Du merken, ob die y-Koordinate stimmt.

Answer 3

Hallo,

die x-Koordinaten deiner Scheitelpunkte stimmen, die y-Koordinaten nicht.

Gruß, Silvia

Answer 4

@Leo44

Kennt ihr bereits die pq- oder die abc-Formel um Nullstellen einer quadratischen Funktion auszurechnen?

Dann gibt es noch einen sehr einfachen Weg an den Scheitelpunkt zu gelangen.

Comments

Und wie lautet der einfache Weg ?

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Und wie lautet der einfache Weg ?

Tun wir mal so als wollten wir die Nullstellen ausrechnen

0.5·x^2 - 2·x + 1.5 = 0   | ·2

x^2 - 4·x + 3 = 0

Anfang der pq-Formel notieren, denn das ist bereits die x-Koordinate von Scheitelpunkt

Sx = - p/2 = - (- 4)/2 = 2

Für die y-Koordinate des Scheitelpunktes, die x-Koordinate einfach in die Funktion einsetzen

Sy = 0.5·2^2 - 2·2 + 1.5 = 0.5·4 - 4 + 1.5 = 2 - 4 + 1.5 = = - 0.5

S(2 | -0.5)

Das ist meiner Meinung nach der einfachste Weg, an den Scheitelpunkt zu kommen, ohne eine andere Formel zu lernen.

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Da in Arbeiten ohnehin oft nach Nullstellen und dem Scheitelpunkt gefragt ist, hat man für die x-Koordinate dann auch keinen zusätzlichen Aufwand.

Answer 5

Und wie lautet der einfache Weg ?

y= -2*x²-8*x-6

y´= -2*2*x-8

-4*x-8=0

x=-2       y(-2)= -2*(-2)²-8*(-2)-6=-8+16-6=2

S(-2|2)

Comments

Oder mit dem Weg über die Nullstellen:

-2*x²-8*x-6=0|:(-2)

x²+4*x+3=0|-3

x²+4*x=-3|quadratische Ergänzung:

x²+4*x+2^2=-3+2^2=1

(x+2)^2=1|\( \sqrt{~~} \)

1.)x+2=1 \)

x₁=-1

2.)x+2=-1 

x₂=-3

Nun liegt bei jeder Parabel 2.Grades der x-Wert des Scheitelpunktes in der Mitte der beiden Nullstellen: x_S: \(\frac{(-1)+(-3)}{2}=-2\)

Den y-Wert erhältst du durch Einsetzen in die Funktion:

\(f(x)=-2*x^2-8*x-6\)

\(f(-2)=-2*(-2)^2-8*(-2)-6=-8+16=2\)

\(S(-2|2)\)

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Da Leo44 nun eine Menge von Antworten erhalten hat, so nehme ich doch an, dass er einen ihm gelegenen Weg findet. Außerdem hat er schon hier nach den Nullstellen gefragt, wie ich gerade bemerkte:

https://www.mathelounge.de/959847/wie-berechne-ich-die-nullstelle-der-funktion?show=959874#a959874