Bestimmen sie für alle x∈ℝ alle Lösungen der Gleichung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie für alle x∈ℝ alle Lösungen der Gleichung.

a) 0=cos(2x-π)

Problem/Ansatz:

Ich weiß ungefähr wie man das rechnen soll, aber dort ist kein richtiges Intervall gegeben... Wie viele Ergebniss kommen denn da raus und wie schreibt man diese auf?

Answer 1

Aloha :)

Die Nullstellen der Cosinus-Funktion sind: \(\quad x_n=n\cdot\pi-\frac\pi2\quad;\quad n\in\mathbb Z\)

Für \(n\in\mathbb Z\) kannst du jede ganze Zahl einsetzen.

Das Argument der Cosinus-Funktion muss also gleich einem dieser Werte \(x_n\) sein:$$\cos(2x-\pi)\stackrel!=0\quad\bigg|\text{Argument gleich einem \(x_n\) setzen}$$$$ 2x-\pi=x_n=n\cdot\pi-\frac\pi2\quad\bigg|+\pi$$$$2x=n\cdot\pi+\frac\pi2\quad\bigg|\div2$$$$x=\frac n2\,\pi+\frac\pi4=(2n+1)\cdot\frac{\pi}{4}\quad;\quad n\in\mathbb Z$$Da du \(n\in\mathbb Z\) frei wählen kannst, gibt es unendlich viele Lösungen.

~plot~ cos(2x-pi) ; [[-10|10|-1,5|1,5]] ~plot~

Comments

Also ich hab das mit der Subtitution gelernt, kann man das nicht mit dem rechnen?

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Im Prinzip haben wir das mit Substution gelöst.

Denke dir oben einen Hilfswinkel\(\quad\alpha\coloneqq\pink{2x-\pi}\)

Dann muss dieser Hilfswinkel eine Nullstelle der Cosinus-Funktion sein:$$\alpha\stackrel!=n\cdot\pi-\frac\pi2$$

Jetzt substituierst du wieder zurück:$$\pink{2x-\pi}\stackrel!=n\cdot\pi-\frac\pi2$$

Jetzt geht die Rechnung wie oben beschrieben weiter.