Vollständige Induktion: n*(n^4-1) teilbar durch 5

Question

Ich soll durch vollständige induktion zeigen, dass  n*(n^4 -1) durch 5 teilbar ist. n∈ N n≥2

also ich hab mal mit dem Induktionsanfang begonnen: n=2  2*15=30, 30 ist durch 5 teilbar, also ist das richtig.

Beim induktionsschritt hab ich folgendes: (n+1)* (((n+1)^4)-1) = (n+1)* (n^4+4n^3+6n^2+4n) = (n^5+4n^4+6n^3+4n^2+n^4+4n^3+6n^2+4n) = (n^5+5n^4+10n^3+10n^2+10n+4)
ist das so richtig? bzw. wie beweise ich dass das durch 5 teilbar ist?? muss ich den 5er herausheben und das gilt dann schon als durch 5 teilbar?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Du schreibst:

(n+1)* (((n+1)⁴)-1) = (n+1)* (n⁴+4n³+6n²+4n)

= (n⁵+4n⁴+6n³+4n²+n⁴+4n³+6n²+4n)

= (n⁵+5n⁴+10n³+10n²+10n+4)

Die letzte Zeile ist falsch. Dort muss es heißen:

= (n⁵+5n⁴+10n³+10n²+4n)

Nun muss noch die Induktionsvoraussetzung verwertet werden, nämlich die Annahme, dass n * ( n⁴ - 1 ) = n ⁵ - n durch 5 teilbar ist. Dazu zieht man zunächst diesen Term aus der letzten Zeile heraus:

= (n⁵- n) + 5n⁴+10n³+10n²+5n

Da nun laut Induktionsvoraussetzung (n⁵- n) durch 5 teilbar ist, gibt es also eine natürliche Zahl k, sodass gilt:
(n⁵- n) = 5 * k
Man kann also weiter umformen:

= 5 * k + 5n⁴+10n³+10n²+5n

Ausklammern von 5 ergibt:

= 5 * ( k + n⁴+2n³+2n²+n )

Da aber k und n natürliche Zahlen sind ist auch der Term in Klammern eine natürliche Zahl und damit ist gezeigt, dass der ursprüngliche Term
(n+1)* (((n+1)⁴)-1)
durch 5 teilbar ist.

Comments

Danke für deine super antwort!!!

kann ich statt dem weg mit dem "k" nicht einfach auch 5*(n^4+2n^3+2n^2+n) schreiben und sagen, dass das durch 5 teilbar ist? Oder ist das zu ungenau??

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Du müsstest dann begründen, warum du n * ( n⁴ - 1)  weglässt, etwa in dem du schreibst: 

"

(n⁵+5n⁴+10n³+10n²+4n)

kann als Summe der laut Induktionsvoraussetzung durch 5 teilbaren Zahl n * ( n⁴ - 1) und dem Term

5n⁴+10n³+10n²+5n = 5 ( n⁴+2n³+2n²+n)

geschrieben werden. Dieser Term aber ist offensichtlich ebenfalls durch 5 teilbar und somit ist auch

(n+1)* (((n+1)⁴)-1)

als Summe zweier durch 5 teilbarer Terme durch 5 teilbar.

"

Ich finde das nicht so schön, vor allem deshalb nicht, weil man zwischendrin mit Wiorten argumentieren muss. In meiner Antwort hingegen hat man eine schöne Gleichungskette, an deren Beginn der Term

(n+1)* (((n+1)⁴)-1)

und an deren Ende ein Term steht, der offensichtlich durch 5 teilbar ist. Das ist einfach eleganter.

 

Wichtig bei der Beweisführung durch Vollständige Induktion ist, dass an irgendeiner Stelle die Induktionsvoraussetzung in die Argumentation einfließen muss. 

Answer 2

Hi,

leider nicht ganz richtig.. denn dein Ausdruck zeigt nicht klar dass er durch 5 teilbar ist..

 

Grüße