Drei Vektoren sind genau dann komplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen (das ist die Bedeutung des Wortes "komplanar"). Das wiederum ist genau dann der Fall, wenn sie linear abhängig sind, wenn sich also ein beliebiger der drei Vektoren durch eine Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.
Beispiel 1:
Aus den drei Vektoren ergibt sich das Gleichungssystem:
1 = 1a + 3b
2 = 0a + 2b
-1 = 3a + 5b
Wenn dieses eine Lösung hat, dann sind die Vektoren komplanar.
Aus der zweiten Gleichung folgt:
b=1
Einsetzen in die erste Gleichung:
1 = 1a + 3*1
<=> a = - 2
Die Vektoren sind nun genau dann komplanar, wenn sich bei Einsetzen der Werte der Parameter a und b in die dritte Gleichung eine wahre Aussage ergibt, wenn also gilt:
-1 = 3 * ( - 2 ) + 5 * 1
<=> -1 = - 1
Das ist eine wahre Aussage, also sind die drei Vektoren komplanar.
