Äquivalenz zeigen bei Körper

Question

Sei (K,<=) ein angeordneter Körper

zz. ∀x∈K∀b∈K:[∀x∈K:x<a⇒x<=b  ⇔b>=a

Annahme: x<a⇒x<=b ist wahr

Wie gehe ich genau weiter vor?

Comments

Du kannst doch direkt schreiben x<a addiere x<=b

dann setze 2x<=b ein

Gruß lul

Answer 1

\(\Rightarrow)\)

Es gelte für alle \(x\in K\): \(x<a\Rightarrow x\leq b\quad (*)\)

Zu zeigen ist, dass dann \(a\leq b\) gelten muss.

Nehmen wir an, es wäre \(b< a\quad (**)\), dann wäre

\(b< \frac{a+b}{2} < a\).

Mit \(x=\frac{a+b}{2}\) gälte dann wegen \((*)\):

\(\frac{a+b}{2}\leq b\), d.h. \(a+b\leq 2b\), also \(a\leq b\).

Das ist ein Widerspruch zu \((**)\).

\(\Leftarrow)\)

ist trivial.

Comments

Wie bist du auf (a+b/2) im Beweis gekommen

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Wenn \(a<b\) ist, dann liegt das arithmetische Mittel

(der Mittelwert) zwischen \(a\) und \(b\).

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Wie wäre trotzdem, dann die umgekehrte Implikation zu beweisen ,also "⇐"?