Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für n ∈ ℕ existiert keine surjektive Abbildung..

Question

Aufgabe

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für \( n \in \mathbb{N} \) existiert keine surjektive Abbildung von \( \{1,2, \ldots, n\} \) auf eine echt größere Teilmenge von \( \mathbb{N} \).

Erläuterung: Ist \( M \) eine Menge und sind \( A, B \subset M \) Teilmengen, so heißt \( A \) echt größer als \( B \), falls \( A \supsetneq B \).

Problem/Ansatz:

Könnte mir evtl. jemand einen Lösungsweg schicken, wobei es mir dabei eher um die korrekte Formalität geht. Vielen lieben Dank.

Comments

wobei es mir dabei eher um die korrekte Formalität geht.

Also hast du bereits eine Beweisidee, dir fehlt nur die

korrekte Formulierung? Dann teile sie uns doch mit.

Dann können wir schauen, wie man sie korrekt formuliert.

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Vielen Dank für die Antwort

Ich denke mal die Idee dahinter ist recht simpel :

Es gibt eine Menge A :{1,2,...,n+1}   (mit n+1 Elementen und ist echte Obermenge von ℕ.)

Beh. : Die Abbildung g: ℕ→A sei surjektiv .

Dann gilt die Behauptung für das kleinste Element n=1 schonmal nicht, da die Menge { 1} echte Teilmenge von A ist.

. Ind. schritt :

Angenommen die Behauptung gelte für ein n∈ℕ .Dann ist ℕ∩A= ℕ (Annahme)

Dann muss sie auch für {1,2,...,n+1}∩A gelten.

Also (ℕ∪{n+1})∩A = A

Dann Disteibutivgesetz und N geschnitten A durch Annahme erstzen..

LG

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ja danke für die Nachfrage ohne Rückantwort

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Tut mir Leid, komme erst gegen Abend dazu.