Erwartungswert und Supremumsnorm bestimmen

Question

Wie lautet der Erwartungswert und die Supremumsnorm von

\(\left|X_{1}-X_{2}\right|\)

wobei \( X_{1}, \ldots, X_{n} \sim \mathcal{U}[a, b] \) u.i.v. für reelle \( a<b \) .

Ich hoffe mir kann jemand helfen

Answer 1

Du musst bewusstloser werden ...

https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician#Joint_distributions

Hier ist \(g(X_1,X_2)=|X_1-X_2|\), also:$$\mathbb{E}(g(X_1,X_2))=\mathbb{E}(|X_1-X_2|)=\int \limits_{a}^{b}\int \limits_{a}^{b}|x-y|f(x,y)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y$$ Die gemeinsame Dichte ist einfach ... die Zufallsvariablen sind unabhängig, d. h. sie ist das Produkt der beiden Randdichten.

Comments

Bei dem Integral hab ich leider Probleme

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Dann spezifiziere diese.

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Ich weiß nicht wie ich mit dem Betrag umgehen soll

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https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+%7Cx%7C+dx

Kann man kompakt mit der Signum-Funktion schreiben.

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das funktionier leider nicht