Wie viele Meter Zaun muss dafür kaufen, wenn er bei einer rechteckigen Fläche möglichst wenig ausgeben will?

Question

Aufgabe:

Frage: Bauer Dietrich muss für seine Hühner 8000m² Freifläche bereitstellen. Wie viele Meter Zaun muss dafür kaufen, wenn er bei einer rechteckigen Fläche möglichst wenig ausgeben will?

Problem/Ansatz:

Kann jemand Mathe?
Extremwertaufgaben (Zielfunktion, Nebenbedingung(en), Extremalfunktion, ...):

Answer 1

"Bauer Dietrich muss für seine Hühner 8000m² Freifläche bereitstellen. Wie viele Meter Zaun muss dafür kaufen, wenn er bei einer rechteckigen Fläche möglichst wenig ausgeben will?"

Zielfunktion:

\(U(a,b)=2a+2b \)  soll minimal werden.

Nebenbedingung:

\(a*b=8000→b= \frac{8000}{a} \)

\(U(a)=2a+2*\frac{8000}{a} =2a+\frac{16000}{a}=\frac{2a^2+16000}{a}\)

\(U´(a)=\frac{4a*a-(2a^2+16000)}{a^2}=\frac{2a^2-16000}{a^2}\)

\(\frac{2a^2-16000}{a^2}=0   \)   mit \(a≠0\)

\(a^2=8000 \)  \(a= \sqrt{8000}\) ( es gilt hier nur der positive Wert, weil eine Strecke nicht negativ sein kann.

\(b= \frac{8000}{\sqrt{8000}}=\sqrt{8000} \)

\(U(\sqrt{8000},\sqrt{8000})=2*\sqrt{8000}+2*\sqrt{8000} =4*\sqrt{8000}=160*\sqrt{5}\)

Answer 2

a*b = 8000

b= 8000/a

U= 2(a+b)

U(a) = 2(a+8000/a) = 2a + 16000/a

Maximieren:

U'(a) =0

2-16000/a^2 =0

2a^2 -16000 =0

a^2 = 8000

a=√ 8000 = 89,44 m

b= 89,44 m

Die Fläche ist ein Quadrat.

U = 4*89,44 = 357,76 m Zaun