Reicht dieser Beweis um den Gruppenhomomorphismus hier dazulegen im Beispiel?

Question

Aufgabe:

Seien (G, ∗G) und (H, ∗H ) Gruppen. Eine Abbildung φ : G → H heißt ein
Gruppenhomomorphismus, wenn φ(a ∗G b) = φ(a) ∗H φ(b) für alle a, b ∈ G.
Wir betrachten die Gruppen (Z, +) und (Q \ {0}, ·).

Zeigen Sie, dass
φ : Z → Q, m 7 → 2m,
ein Gruppenhomomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

Meine Frage hierzu ist, reicht dies als Beweis, dass es ein Gruppenhormophismus ist oder muss hier mehr gemacht werden? Wenn ja wie gehe ich davor und hat jemand einen Tipp, wie ich sowas direkt immer erkenne?

Gruß

Comments

Vielleicht meinst du ja das Richtige. Es ist aber so undurchsichtig
und für den Leser so unzumutbar, dass ich das nicht beurteilen kann.

Irgendwo hast du auch geschrieben:

\(2^a+2^b=2^{a+b}\), was natürlich Blödsinn ist.

Answer 1

Wenn ja wie gehe ich davor und hat jemand einen Tipp, wie ich sowas direkt immer erkenne?

Du musst einfach nur mit allgemeinen Elementen zeigen, dass die

Definition eines Homomorphismus erfüllt ist:

Seien \(a,b\) in \(G=(\mathbb{Z}, +)\) und sei \(H=(\mathbb{Q}^*,\cdot)\).

Dann gilt

\(f(a+b)=2^{a+b}=2^a\cdot 2^b=f(a)\cdot f(b)\).

Comments

Ich danke dir, und entschuldigung für meine Äquivalenz Aussage, die stimmt natürlich nicht. Es war die Unaufmerksamkeit von mir.