Maximum Minimum Supremum Infimum

Question

Aufgabe:

Bestimme das Maximum, Minmum und Supremum, Infimum von den Mengen

(1-(2/n):n∈N/(0)) und (1-(2/n):n∈N/(0)) U (2)

Answer 1

Wohl so :      M={1-(2/n):n∈ℕ\{0}}

sup(M)=1 denn für alle x∈M gilt  x≤1

Wäre S eine kleinere obere Schranke für M, dann wäre S<1

und es würde gelten  1-(2/n) ≤ S  für alle n∈ℕ\{0}

         <=>   1-S  ≤ 2/n   | *n  (n positiv)

             <=> n*( 1-S)  ≥≤2   und weil 1-S auch pos. ist

               <=> n    ≤  2 / ( 1-S)

Aber (Axiom des Archimedes) zu jeder reellen Zahl (also auch zu 2/(1-S)

gibt es ein n∈ℕ\{0}, dass größer ist. Widerspruch!

Also ist 1 die kleinste obere Schranke von M, sprich "das Supremum".

Maximum gibt es nicht, da 1∉M.