Question

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}\left(\frac{7}{5}\right)^{k} \)

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} k^{2}\left(-\frac{5}{7}\right)^{k} \)

Answer 1

Aloha :)

Ich empfehle in beiden Fällen das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{ \frac{1}{(k+1)^2} \left( \frac75 \right)^{k+1}}{ \frac{1}{k^2}\left(\frac75\right)^k }\right|=\frac{k^2}{(k+1)^2}\cdot\frac75=\frac75\left(\frac{k}{k+1}\right)^2=\frac75\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\to\frac75>1$$Die erste Reihe divergiert.

$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{(k+1)^2\left(-\frac57\right)^{k+1}}{ k^2\left(-\frac57\right)^k }\right|=\frac{(k+1)^2}{k^2}\cdot\frac57=\frac57\left(\frac{k+1}{k}\right)^2=\frac57\left(1+\frac{1}{k}\right)^2\to\frac57<1$$Die zweite Reihe konvergiert.

Comments

Danke für deine Antwort! Könntest du mir eine Mail schicken, ich hätte nochmal eine Frage : luki6215@gmail .com

Wäre super ,Danke!

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Hast, glaube ich, vergessen zu schreiben, dass die zweite nicht absolut konvergiert.

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Achso, ich dachte das sei klar, sorry:

Wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist, liegt absolute Konvergenz vor.

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Mein Fehler, die Reihe ist doch absolut konvergent.

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Wie bist du auf diese Umrechnungen gekommen?

\(=\frac75\left(\frac{k}{k+1}\right)^2=\frac75\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^2\)

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Wie rechnet man es für:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} d_{k}, \quad \) wobei \( \quad d_{k}=\left\{\begin{array}{ll}5^{-k} & \text { wenn } k \text { gerade, } \\ 7^{-k} & \text { wenn } k \text { ungerade. }\end{array}\right. \)

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@Rudi:

$$\frac{k}{k+1}=\frac{k+1-1}{k+1}=\frac{k+1}{k+1}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$$

@Thomas:

Das ist eine neue Aufgabe. Bitte schließe diese hier ab und poste deinen letzen Beitrag als neue Frage. Dann können alle Helfer sie sehen und du bekommst schneller eine Antwort.