Zeigen Sie, dass T R-linear ist

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum V := R[X] _{kleiner gleich 3} der Polynome von Grad kleiner gleich 3, zusammen mit der Abbildung

T: V → R²

f----->f(0)

          f(1)

(a) Zeigen Sie, dass T R-linear ist

(b) Finden Sie eine Matrixdarstellung von T bezüglich der Standardbasen (1, X, X².X³) und (Vektor (1,0) und (0,1))

Problem/Ansatz: Ich verstehe die Aufgabe nicht. Bitte hilft mir

Answer 1

T: V → R²

f----->f(0)

        f(1)

Ist ja eine Abbildung, die kann man übersichtlicher so schreiben

\(   T: V \rightarrow ℝ^2  \) mit \( T(f) =\begin{pmatrix} f(0) \\ f(1)\end{pmatrix}  \)

Wenn z.B. f  das Polynom x^2 + 2 ist, dann berechne f(0)=2 und f(1)=3

und du hast  \( T(f) =\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}  \)

Es wird also jedem Polynom  mit Grad kleiner gleich 3 eine Element von ℝ^2 zugeordnet.

Für Linearität prüfe mal erst, ob T(f+g) = T(f) + T(g) ist.

Comments

wie mache ich das genau?

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\( T(f+g) =\begin{pmatrix} (f+g)(0) \\ (f+g)(1) \end{pmatrix}  \)

Def. der Summe von Abbildungen anwenden gibt

\( =\begin{pmatrix} f(0)+g(0) \\ f(1)+g(1) \end{pmatrix}  \)

Def. von + in ℝ^2 anwenden gibt

\( =\begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} g(0) \\ g(1) \end{pmatrix} \)

Def. von T anwenden gibt  \( =  T(f)  +   T(g)   \)

Also T(f+g) = T(f) + T(g).

Versuche nun für alle a∈ℝ und f ∈ ℝ[x]_≤3 zu zeigen T(a*f) = a*T(f).

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mache ich das genauso wie bei der Linearität? Oder wie? Habe ich danach die aufgabe (a) vollständig bearbeitet? Wie gehe ich bei der (b) voran?

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Die beiden Überlegungen begründen die Linearität.

Für b) berechne die Bilder der 4 Basisvektoren und schreibe sie als

Spalten einer Matrix hin.

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ok super danke. Kannst du mir die ganze Lösung schicken damit ich nach der Bearbeitung vergleichen kann

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Stell dein Ergebnis rein, dann kann man schauen.

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super. kann man mein AB irgendwie per mail schicken. Weiß nicht wie ich mein blatt einstelle

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Mach ein Foto.

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hier findest du dein ersten teil

Text erkannt:

Autgabe 1: Lintly of
1. wir betrachten den \( \mathbb{R}-V R \quad V=\mathbb{R}[+]_{\rightarrow 3} \) der Polynome won Grad \( \leq 3 \), zsm mit
\( \begin{array}{l} T: W \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \quad f \rightarrow(f(0)) \end{array} \)
(a) Zeigan Sie, dass \( T \) |IR-emead cist
\( \begin{array}{l} \text { T: } \mathbb{R}[\not]_{\leq 3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad f \rightarrow(f(1)) \\ \begin{array}{c} \left\{a^{2} d+a_{1} x+a_{2} \cdot x^{2}+a_{3} \cdot x^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \\ \mathbb{R}+\mathbb{R} \end{array} \\ T(f)=\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right) \\ \end{array} \)
Limeartat \( T(f+g)=\left(\begin{array}{ll}(f+g) & (0) \\ (f+g) & (1)\end{array}\right) \)
Def des Summe vou AbB anwenda ribt
\( \begin{array}{l} =(f(0)) d(g(1)))\left(\begin{array}{l} f(0)+g(0) \\ f(1)+g(1) \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} g(0) \\ g(1) \end{array}\right) \\ \forall a \in \mathbb{R} \quad 1 \quad \forall f \in \mathbb{R}[t] \leq_{3} \\ \text { z.z. } T(a \cdot f)=a T(f) \\ \end{array} \)

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hier ist der zweite Teilil habe es probiert . Bitte um Verbesserung

Text erkannt:

\( \operatorname{seien}^{\circ}\left(\frac{f(q)}{f(1)}\right) \in \mathbb{R}^{2} \wedge a \in V \)
Dann gelt
\( \begin{aligned} f(a(f(0))) &=f\left(\begin{array}{l} a \cdot(0) \\ f(1) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{l} a \cdot f(0) \\ a \cdot f(1) \end{array}\right) \\ &=a \cdot f(0)+a \cdot f(1) \\ &=a \cdot(f(0)+f(1)) \\ &\operatorname{mav}(f)) \\ &=a \cdot\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right)=a \cdot T(f) \end{aligned} \)
3) \( \left\{1, x_{1} x^{2}, x^{3}\right\} \in V \)
\( x\left(x^{3}\right) \)
\( T(1), T(x), T\left(x^{2}\right), T\left(x^{3}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
wern \( x \in V \) hoonen wir ihn als Limeackombination \( +3 x_{1} \cdot 1+\ldots+x_{4} \cdot x^{3} \)
\( \Rightarrow \) wegen der Linearitat
\( f(x)=x_{1} \cdot T(1)+\ldots+x y \cdot T\left(x^{3}\right) \)

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2. Teil von a) ist falsch.

Muss so heißen:  T und f nicht verwechseln !

z. zeigen T(a*f) = a*T(f) für alle a∈ℝ und f∈V.

\(  T(a*f) = \left(\begin{array}{l} af(0) \\ af(1) \end{array}\right) \)

Def. von af anwenden gibt

 \(  = \left(\begin{array}{l} a\cdot f(0) \\ a\cdot f(1) \end{array}\right) \)

Def. S-Multiplikation in R^2

\(  =a \cdot \left(\begin{array}{l}  f(0) \\  f(1) \end{array}\right) \)

Def. von T

\(  =a \cdot T(f) \)

b) \(T(1), T(x), T\left(x^{2}\right), T\left(x^{3}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) ✓

Aber jetzt ausrechnen :

\(  T(1) = \left(\begin{array}{l} 1(0) \\ 1(1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Das ist die erste Spalte der gesuchten Matrix !

\(  T(x) = \left(\begin{array}{l} x(0) \\ x(1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Das ist die zweite Spalte der gesuchten Matrix !  etc.