Aloha :)
Wir wissen, dass die geometrische Reihe für \(|x|<1\) konvergiert:$$\sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\frac{1}{1-x}\quad;\quad|x|<1$$
Wir folgen dem Tipp und betrachten das Cauchy-Produkt dieser Reihe mit sich selbst:$$\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{i+k=n}x^ix^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n-k}x^k=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\sum\limits_{k=0}^nx^{n}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n\sum\limits_{k=0}^n1=\sum\limits_{n=0}^\infty x^n(n+1)$$
Daher gilt für \(|x|<1\):$$\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1) x^n=\left(\frac{1}{1-x}\right)^2$$
Mit einer Indexverschiebung finden wir den gesuchten Zusammenhang:$$\sum\limits_{k=1}^\infty kx^k=\sum\limits_{k=1-\pink1}^\infty (k\pink{+1})x^{k\pink{+1}}=x\cdot\sum\limits_{k=0}^\infty(k+1)x^k=x\cdot\left(\frac{1}{1-x}\right)^2=\frac{x}{(1-x)^2}$$
