Fläche unter dem Graphen der Funktion f

Question

Aufgabe

Der Graph der Funktion f, die Gerade g und die x-Achse begrenzen eine Fläche. Berechne den Inhalt dieser Fläche! f(x) = x², g: 7x-y-6 = 0

Problem/Ansatz:

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo,

berechne zunächst den Schnittpunkt S von f und g sowie den Schnittpunkt N von g mit der x-Achse.

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\(f(x)=x^2\quad g(x)=7x-6\\ x^2=7x-6\\ x^2-7x+6=0\\ x_1 =1\quad x_2=6\rightarrow S(1|1)\\[10pt] 7x-6=0\rightarrow N\big(\frac{6}{7}|0\big)\)

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Berechne dann den Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse von 0 bis 1 (blau) und ziehe davon die Fläche des schraffierten Dreiecks ab.

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\(\int \limits_{0}^{1}x^2\;dx=\bigg[\frac{1}{3}x^3\bigg]_0^1=\frac{1}{3}\\ A_\text{Dreieck}=\frac{1}{14}\\ \frac{1}{3}-\frac{1}{14}=\frac{11}{42}\approx 0,2619\)

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Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank, ich konnte das so sehr gut nachvollziehen. Ich hätte jetzt noch eine dumm(?) Frage. Wie komme ich auf die 1/14 für das Dreieck?

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Die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks ist Grundseite mal Höhe geteilt durch 2.

Die Grundseite ist \(1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}\) lang. Die Höhe beträgt 1, also \(\frac{1}{7}:2=\frac{1}{14}\).

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Vielen Dank!

Answer 2

∫ (0 bis 1) x^2 dx - ∫ (6/7 bis 1) (7x - 6) dx = 11/42 = 0.2619