Differentialgleichungssysteme lösen

Question

Aufgabe:

Hallo!

Ich soll folgende Differentialgleichungssysteme bestimmen. Der Ansatz sollte so passen, aber ich komme nicht auf die Lösung, da ich für 2x denselben Eigenwert (Lambada=1) rausbekommen habe. Kann das so stimmen?

Problem/Ansatz:

i) \( y_{1}^{\prime}=y_{1}+e^{x} \)
\( y_{2}^{\prime}=y_{1}+y_{2}-e^{x} \)
\( \left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e^{x} \\ -e^{x}\end{array}\right) \)
\( \begin{aligned} \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 0 \\ 1 & 1-\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda)(1-\lambda) &=1-\lambda-\lambda+\lambda^{2} \\ &=\lambda^{2}-2 \lambda+1 \end{aligned} \)
\( =\lambda^{2}-2 \cdot 1 \lambda+\lambda \)
\( \underset{\substack{\text { Quadratisch } \\ \text { erganzen }}}{ }=(\lambda-1)^{2}  {-1+1} =0 \)
\( (\lambda-1)^{2}=0 \Leftrightarrow|\lambda-\lambda|=0 \)
1. F: \( \quad \lambda-1 \geqslant 0 \)
\( \lambda-1=0 \Leftrightarrow \lambda=1 \)
2. F \( \quad \lambda-1<0 \)
\( \lambda-1=0 \Longleftrightarrow \lambda=1 \)

\( \lambda=1\left(\begin{array}{ll|l}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right) \leadsto\left(\begin{array}{cc|c}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)
\( \Longrightarrow E r=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \)
\( y_{n}=c_{1} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} \cdot e^{x}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \)
\( \psi=\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right) \)
\( \left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}c_{1}^{\prime} \\ c_{2}^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}e^{x} \\ -e^{x}\end{array}\right) \)
\( c_{1}^{\prime}=\frac{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}e^{x} & 0 \\ -e^{x} & e^{x}\end{array}\right)}{\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}0 & 0 \\ e^{x} & e^{x}\end{array}\right)}=\frac{e^{2 x}}{0} \)

Answer 1

Hallo,

da ich für 2x denselben Eigenwert (Lambada=1) rausbekommen habe. ->das stimmt.

Bei doppelten Eigenwerten mußt du zuerst die Eigenvektoren bestimmen und dann über die Hauptvektoren gehen.(falls behandelt)

Ansonsten kannst Du die Aufgabe auch so lösen, indem Du sagst:

1) y1'= y1

2) y2'= y1 +y2 , ohne Eigenwerte und Eigenvektoren

homogene Lösung: (in jedem Fall)

\( \mathrm{yh} 1(x)=C_{1} e^{x} \)

\( \mathrm{yh} 2(x)=C_{1} e^{x} x+C_{2} e^{x} \)

Du brauchst aber auch noch einen Ansatz für die part. Lösung:

yp1= a e^x

yp2= A e^x

y=yh+yp

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung Groesserloewe!

Aber ab wie soll ich da genau vorgehen.

1) y1'= y1

2) y2'= y1 +y2 , ohne Eigenwerte und Eigenvektoren

was ist y1' und y2' ?

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y1'=y1

dy1/dx= y1 ->Trennung der Variablen

\( \frac{dy1}{y1} \) =dx

...

y₁= C1 e^x eingesetzt in

y2'= y1 +y2 

-------->

y2'= C1 e^x +y2

y2' -y2 =C1 e^x ->Variation der Konstanten

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Aber ist mein Ansatz c1'= det (...) / det(..) falsch? Weil ich bekomme e^2x/0 und das sollte normalerweise nicht sein. In der VO sind wir auch so vorgegangen, aber in diesem Fall funktioniert dieser Weg ja nicht, oder?

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das ist die homogene Lösung. Damit mußt Du  nach Deinen Formeln weiterrechnen.

\( yh=c_{1} e^{x}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+c_{2} e^{x}\left(x\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right)\right) \)

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Achso muss ich das so rechnen? Ich hab ja oben einfach c1* .. + c2 * e^x * (0 1) gerechnet ohne x ( 0 1) + x (1 0). Wäre mein Ansatz falsch? Denn ich habe immer versucht den Rechenweg, den wir in der Stunde behandelt haben, zu wählen, aber ich glaube, der macht ja in dem Fall nicht viel Sinn, also korrekt wär`s nicht, oder?

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Du hast hier doppelte Eigenwerte. Die Formeln sind die Gleichen.

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Ich versteh' das ehrlich gesagt immer noch nicht, sry. Wie muss ich dann weiterrechen?

Muss ich das aumultiplizieren? Dann habe ich ja 2x3 Matrix.

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Muss ich das ausmultiplizieren? ->Ja

Dann habe ich ja 2x3 Matrix. -->Nein

-->

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Super, vielen vielen Dank! So konnte ich die Rechnung besser nachvollziehen. Aber was noch unklar ist: Warum rechnen wir hier c2*\( e^{x} \) * (x*(0 1) * (1 0)) ? Das kann ich immer noch nicht nachvollziehen. Hat das vielleicht damit zu tun, dass wir 2x denselben Eigenwert rausbekommen haben? Denn bei einer Aufgabe hatten wir nur c1* .. + c2 * ex * (..) gerechnet, also wir hatte nur einen Eigenvektor bei c2 und mussten die EV auch nicht mit x multiplizieren.

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Hat das vielleicht damit zu tun, dass wir 2x denselben Eigenwert rausbekommen haben? JA

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Alles klar! Super, vielen Dank für die verständliche Erklärung!!