Flugbahn höhe Matrix

Question

Aufgabe:

Die FLugbahne...

Text erkannt:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden
\( y=b_{1}+b_{2} \cdot x+b_{3} \cdot x^{2}, \)
wobei \( x \) die zurückgelegten Meter der Kugel, \( y \) die Höhe der Kugel in Metern, und \( b_{1}, b_{2}, b_{3} \) die Parameter der Kugel bezeichnen.
Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline\( x_{i} \) & 6 & 9 & 13 & 19 \\
\hline\( y_{i} \) & 104 & 137 & 149 & 130 \\
\hline
\end{tabular}
a. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{1} \) der Flugbahn. \( 5.33 \)
b. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{2} \) der Flugbahn. \( 21.32 \)
c. Ermitteln Sie den Parameter \( b_{3} \) der Flugbahn. \( -0.78 \)
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach \( \mathbf{2 7} \) Metern? \( 12.35 \)
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf? \( 27.58 \)

Problem/Ansatz:

… Ich habe hierfür 0,6 Punkte bekommen... Die Aufgabe d und e widersprechen sich komplett... leider weiß ich nicht wo ich den Fehler habe. Ich habe e mit der Mitternachtsformel berechnet.

Answer 1

Aloha :)

Die 4 Messpunkte eingesetzt in die Modellgleichung liefern ein überbestimmtes Gleichungssystem:$$\begin{array}{r|rrr|c}x_i & b_1 & b_2 & b_3 & y_i\\\hline6 & 1 & 6 & 36 & 104\\9 & 1 & 9 & 81 & 137\\13 & 1 & 13 & 169 & 149\\19 & 1 & 19 & 361 & 130\end{array}\quad\implies\quad\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 9 & 81\\1 & 13 & 169\\1 & 19 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}104\\137\\149\\130\end{pmatrix}$$Da wir eine Gleichung mehr als Parameter haben, ist dieses Gleichungssystem im Allgemeinden nicht exakt lösbar. Du kannst jedoch eine optimale Lösung angeben, in dem Sinn, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.$$\sum\limits_{i=1}^4\left(y(x_i)-y_i\right)^2\to\text{Minimum}$$

Dazu brauchst du nur beide Seiten der Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix zu multiplizieren:$$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 9 & 13 & 19\\36 & 81 & 169 & 361\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 6 & 36\\1 & 9 & 81\\1 & 13 & 169\\1 & 19 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 1\\6 & 9 & 13 & 19\\36 & 81 & 169 & 361\end{array}\right)\begin{pmatrix}104\\137\\149\\130\end{pmatrix}$$$$\left(\begin{array}{rrr}4 & 47 & 647\\47 & 647 & 10001\\647 & 10001 & 166739\end{array}\right)\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}520\\6264\\86952\end{array}\right)$$und das so entstandene Gleichungssystem zu lösen:$$\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5,32737\\21,3188\\-0,777887\end{pmatrix}$$

Diese Werte auf 2 Nachkommastellen gerundet, entsprechen deinen Werten.

Bei der Flughöhe nach \(x=27\) Metern komme ich aber auf \(13,8553\)

Und der Auftreffpunkt (Nullstelle) liegt bei \(x=27,6537\)

Comments

Der Fragesteller fragte:

leider weiß ich nicht wo ich den Fehler habe.

und der liegt nicht in der Berechnung (s.o.), sondern in der Rundung der Ergebnisse. Beim Runden zählt nicht auf wieviele Nachkommastellen gerundet wird, sondern außschließlich über wieviele relevante Dezimalstellen die gerundete Zahl noch verfügt.

Und bei \(b_3=-0,78\) sind das nur zwei; dh. der 'wahre' Wert könnte im Intervall \((-0,775\,\dots -0,785)\) liegen. Wenn dann gefragt wird, wie hoch die Kugel bei \(x=27\) ist, so liegt die Unsicherheit bei$$b_3\cdot 27^2 \in\approx (-565\,\dots\, -572)$$d.h. einer Intervallbreite von in diesem Fall 7m, die nur aus der Rundung von \(b_3\) resultiert!

Dann ist es auch völlig sinnfrei die Höhe der Kugel bei 27m auf vier Dezimalstellen genau - also cm-Genauigkeit - anzugeben!

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Die Genauigkeit macht hier sehr wohl Sinn, weil es um die optimale Ausgleichparabel geht. Wie du richtig erkannt hast, lag der Fehler des Fragenstellers ja gerade darin, dass die Genauigkeit zu gering war und das System die Werte daher nicht als richtig erkannt hat.