w so, dass (u,w,-v) ein Rechtssystem ; Problem bei mir det(u,w,-v)= -1 ≠1

Question

gegeben seien folgende Vektoren:

\( u=\frac{\sqrt{6}}{12}\left(\begin{array}{c}2 \\ 4 \\ -2\end{array}\right) \)

\( v=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \)

Konstruieren Sie einen Vektor \( w \in \mathbb{R}^{3} \), so dass \( u, w,-v \) ein Rechtssystem ist.

Problem/Ansatz:

Rechtssystem wenn die Determinante einer Orthonormal-Matrix =1 ist

In einer anderen Teilaufgabe wurde schon bewiesen, dass u, v orthonormalen Vektoren sind.

Für w habe ich u x -v gemacht, für den Normalenvektor. Den dann normiert --> \( \frac{1}{√2} \) \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Problem : Det( u, w, -v) = -1 ? Es muss aber =1 sein

\( \begin{pmatrix} 1/√6 &1/√2&-1/√3 \\ 2/√6 & 0&1/√3\\-1/√6&1/√2&1/√3 \end{pmatrix} \) =\( \frac{-1-2-1-2}{√36} \) =\( \frac{-6}{6} \)

Answer 1

Kannst du nicht w einfach umdrehen ?

also \( \begin{pmatrix} \frac{-1}{√2} \\0\\ \frac{-1}{√2} \end{pmatrix} \)

Dann müsste es doch gehen.

Comments

diese Idee hatte ich auch, aber es kam ebenfalls det=-1 heraus.

Det (u, -w,-v)= -1

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Ich habe grade den Rechenfehler bei mir entdeckt. Habe mich verrechnet.

Dann passt das.

Aufgabe:

Ich soll nun folgendes in Hesse-Normalform darstellen: L(w, v)

Wie übertrage ich das in diese Formel: n(x-a) =0

Die HNF stellt ja eine Ebene da. Sollen die Vektoren dann Spannvektoren von dieser sein?

Ich habe w x v für den Normalenvektor : 1/wurzel 6 (-1,-2,1)

Was ist jetzt mein Ursprung ; 0?

-->n(x-0)=0

E: - 1/sqrt6 *x1 - 2/sqrt6 *x2 +1/sqrt6 *x3=0

Ist mein Gedanke korrekt?

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Ich denke ja:

L(w, v) ist sicher die "lineare Hülle" von w und v,

also der vor w und v aufgespannte Unterraum des R^3 .

Das entspricht dann einer Ebene durch den Nullpunkt.