Extremwertprobleme bei Aufgabe lösen

Question

  ich habe ein paar Problemchen mit der folgenden Aufgabe:


Wie müssen die Maße eines zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel mit dem Volumen 1000l gewählt werden, damit der Blechverbrauch minimal ist?

Hilfe:

Volumen : V = π · r2 · h

Mantelfläche: M = 2 · π · r · h

Oberfläche: A = 2 · π · r · ( r + h )


(Ich weiß leider nicht, was die HB,NB und die Zielfunktion ist.

Ich vermute:

Hauptbedingung: Blechverbrauch minimal also : M = 2 · π · r · h

Nebenbedingung: Mape des Zylinders A = 2 · π · r · ( r + h ) ...)


Vielleicht könntet ihr mir ja helfen wäre sehr nett :)

Answer 1

V = pi·r^2·h
h = V/(pi·r^2)

O = 2·pi·h·r + pi·r^2

Hier wird jetzt h ersetzt

O = 2·pi·(V/(pi·r^2))·r + pi·r^2 = pi·r^2 + 2·v/r

O' = 2·pi·r - 2·v/r^2 = 0
r = (V/pi)^{1/3}

Jetzt noch h bestimmen

h = V/(pi·((V/pi)^{1/3})^2) = (V/pi)^{1/3}

Der Radius muss also genau so lang sein wie die Höhe.


Du solltest das jetzt mit werten Durchrechnen und auch die Hinreichende Bedingung prüfen.

Comments

Was ist jetzt die Hauptbeningun und was die Nebenbedingung?

und was ist h h = V/(pi·r2) ?


Danke schonmal

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Nebenbedingung ist das Volumen: V = pi·r²·h

Das löst du nach h auf.

Hauptbedingung ist die Oberfläche: O = 2·pi·h·r + pi·r²

Dort setzt du das h ein.

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Cool.

Ich werde es jetzt mal versuchen

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Wieso hast du hier O = 2·pi·(V/(pi·r2))·r + pi·r2 Ich habe nur 2*pi*r(1000/pi*r^2)*r

oder habe ich einen Fehler gemacht?

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Allgemein wieso O = 2·pi·h·r + pi·r2

Ich dachte die Formel ist 2 · π · r · ( r + h )

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zylindrischen Wasserspeichers ohne Deckel!

Ohne Deckel bedeutet das einmal pi*r^2 fehlt.

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Aber das bedeutet doch, dass  O = 2·pi·r(r+h) die normale Oberflächenformel ist oder? und dann kommt noch einmal 2*r*pi dazu, weil es ja einen unteren Deckel bsitzt, aber der obere Deckel fehlt oder?

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Multiplizier die Formel die du hast doch mal aus

O = 2·pi·r·(r + h) = 2·pi·r·h + 2·pi·r^2

So und nun frag dich selber mal was man mit den beiden Summanden für Flächen ausrechnet.

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Ja, okay danke! Ich hatte das ausrechnen nicht bedacht!

Und bei dieser Formel also 2·pi·r·h + 2·pi·r^2 fällt einmal pi*r^2 weg, da ein Deckel fehlt richtig ?

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Könntest du mir bitte das hier einmal mit Zwischenschritten erklären:

O = 2·pi·(V/(pi·r2))·r + pi·r2 = pi·r2 + 2·v/r

O' = 2·pi·r - 2·v/r2 = 0
r = (V/pi)1/3


Ich weiß, dass du das nich machst(steht in deinem Profil), aber dümpel jetzt schon seit 3 Stunden daran rum versuche es zu verstehen, verzweifel aber die ganze zeit, weil ich es nicht auf die Reihe bekomme!

Das Thema haben wir heute neu bekommen und unser Lehrer kann nicht erklären (ist wirklich so) deswegen wäre es wirklich sehr nett, wenn du mir dabei hilfst!