Wieso ist hier der Erwartungswert = VAR(x)?

Question

Aufgabe:

Auf eine Kreuzung münden vier Straßen, aus denen im Durchschnitt in einer Stunde 27, 23, 35 und 15 Kraftfahrzeuge auf die Kreuzung kommen. Die Ankunft der Fahrzeuge sei paarweise stochastisch unabhängig (d.h. die Ankunft eines Fahrzeuges hat keinen Einfluss auf die Ankunft eines anderen).

a) Welches Modell (Verteilung) liegt vor? Begründen Sie Ihre Antwort.

b) Welcher Parameter der Verteilung gibt die durchschnittliche Fahrzeuganzahl an der Kreuzung innerhalb einer Stunde an? Berechnen Sie die durchschnittliche Fahrzeuganzahl.

c) Welcher Parameter der Verteilung gibt die durchschnittliche Abweichung von der durchschnittlichen Fahrzeuganzahl an der Kreuzung innerhalb einer Stunde an? Berechnen Sie diesen Parameter.

Lösung:

a) Der Parameter $\lambda$ einer Poissonverteilung gibt den Erwartungswert der Verteilung an. Bezeichnen $X_{1}, \cdots, X_{4}$ die mit den jeweiligen Parametern beschriebene Anzahl Fahrzeuge je Straße, dann beschreibt $X:=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}$ die Anzahl der Fahrzeuge auf der Kreuzung. Es gilt $E(X)=E\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}\right)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+E\left(X_{3}\right)+E\left(X_{4}\right)=$ $27+23+35+15=100$

b) Da $X$ Poisson-verteilt ist mit Parameter $\lambda=100$ gilt für die Varianz $V A R(X)=\lambda=$ 100. Die durchschnittliche Abweichung wird durch die Standardabweichung beschrieben: $\sqrt{V A R(X)}=\sqrt{100}=10$

Problem/Ansatz:

Warum gilt bei Lösung b) dass der Erwartungswert 100 gleich die Varianz ist?

Answer 1

Das ist bei der Poissonverteilung so üblich und kann auch hergeleitet werden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung